2. 考研
  3. 设A为n阶方阵，且A+E与A—E均可逆，则下列等式中不成立的是( )

设A为n阶方阵，且A+E与A—E均可逆，则下列等式中不成立的是( )

admin2019-01-26  13
问题 设A为n阶方阵，且A+E与A—E均可逆，则下列等式中不成立的是(    )
选项 A、(A+E)2(A－E)=(A－E)(A+E)2。
B、(A+E)－1(A－E)：(A－E)(A+E)－1。
C、(A+E)T(A－E)=(A－E)(A+E)T。
D、(A+E)(A－E)*=(A－E)*(A+E)。
答案C
解析 由A与E可交换得，A+E与A－E可交换，进而可得
                      (A+E)2(A－E)=(A+E)(A－E)(A+E)=(A－E)(A+E)2，
  所以(A+E)2与A－E可交换，故A项成立。
     由A+E与A－E可交换得，(A－E)(A+E)=(A+E)(A－E)。在等式两边同时左、右乘(A+E)－1得，(A+E)－1(A－E)=(A－E)(A+E)－1；在等式两边同时左、右乘(A－E)－1得，(A+E)(A－E)－1=(A－E)－1(A+E)，再在所得等式两边同时乘|A－E|得，(A+E)(A－E)*=(A－E)*(A+E)。故B、D两项成立。
     事实上，只有当ATA=AAT时，(A+E)T(A－E)=(A－E)(A+E)T才成立。而ATA=AAT不一定成立。例如因此ATA≠AAT。故本题选C。
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考研数学二

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