2. 考研
  3. 设函数f(x)二阶连续可导，f(0)＝1且有f’(x)＋3∫0xf’(t)dt＋2x∫01f(tx)dt＋e－x＝0， 求f(x)．

设函数f(x)二阶连续可导，f(0)＝1且有f’(x)＋3∫0xf’(t)dt＋2x∫01f(tx)dt＋e－x＝0， 求f(x)．

admin2018-01-23  58
问题 设函数f(x)二阶连续可导，f(0)＝1且有f’(x)＋3∫0xf’(t)dt＋2x∫01f(tx)dt＋e－x＝0，
求f(x)．
选项
答案因为x∫01f(tr)dt＝∫0xf(u)du，所以f’(x)＋3∫0xf’(t)dt＋2x∫01f(tx)dt＋e－x＝0可化为 f’(x)＋3∫0xf’(t)dt＝2∫0xf(t)dt＋e－x＝0， 两边对x求导得f’’(x)＋3f’(x)＋2f(x)＝e－x， 由λ2＋3λ＋2＝0得λ1＝－1，λ2＝－2， 则方程f’’(x)＋3f’(x)＋2f(x)＝0的通解为C1e－x＋C2e－2x． 令f’’(x)＋3f’(x)＋2f(x)＝e－x的一个特解为y0＝axe－x，代入得a＝1， 则原方程的通解为f(x)＝C1e－x＋C2e－2x＋xe－x． 由f(0)＝1，f’(0)＝－1得C1＝0，C2＝1，故原方程的解为f(x)＝e－2x＋xe－x．
解析
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考研数学三

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