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设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=(aij)m×n中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)，二次型f(x1，x2，…，xn)= (1)记x=(x1，x2，…，xn)T，把f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式，并说明二次型f(x)的
设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=(aij)m×n中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)，二次型f(x1，x2，…，xn)= (1)记x=(x1，x2，…，xn)T，把f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式，并说明二次型f(x)的
admin
2016-07-11
33
问题
设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，A
ij
是A=(a
ij
)
m×n
中元素a
ij
的代数余子式(i，j=1，2，…，n)，二次型f(x
1
，x
2
，…，x
n
)=
(1)记x=(x
1
，x
2
，…，x
n
)
T
，把f(x
1
，x
2
，…，x
n
)写成矩阵形式，并说明二次型f(x)的矩阵为A
-1
；
(2)二次型g(x)=x
T
Ax与f(x)的规范形是否相同?说明理由．
选项
答案
[*] 因为r(A)=n，知A可逆，又因A是实对称的，有(A
-1
)
T
=(A
T
)
-1
=A
-1
， 可知[*]是实对称矩阵，于是A*是对称的，故二次型f(x)的矩阵是A
-1
． (2)经坐标变换x=A
-1
y，有 g(x)=x
T
Ax=(A
-1
y)
T
A(A
-1
y)=y
T
(A
-1
)
T
y=y
T
A
-1
y=f(y)． 即g(x)与f(x)有相同的规范形．
解析
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线性代数（经管类）题库公共课分类
0
线性代数（经管类）
公共课
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