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设A,B为同阶方阵。 (Ⅰ)若A,B相似,证明A,B的特征多项式相等; (Ⅱ)举一个二阶方阵的例子说明(Ⅰ)的逆命题不成立; (Ⅲ)当A,B均为实对称矩阵时,证明(Ⅰ)的逆命题成立。
设A,B为同阶方阵。 (Ⅰ)若A,B相似,证明A,B的特征多项式相等; (Ⅱ)举一个二阶方阵的例子说明(Ⅰ)的逆命题不成立; (Ⅲ)当A,B均为实对称矩阵时,证明(Ⅰ)的逆命题成立。
admin
2017-01-21
83
问题
设A,B为同阶方阵。
(Ⅰ)若A,B相似,证明A,B的特征多项式相等;
(Ⅱ)举一个二阶方阵的例子说明(Ⅰ)的逆命题不成立;
(Ⅲ)当A,B均为实对称矩阵时,证明(Ⅰ)的逆命题成立。
选项
答案
(Ⅰ)若A,B相似,那么存在可逆矩阵P,使P
—1
AP=B,则 |λE—B|=|λE—P
—1
AP|=|P
—1
λEP—P
—1
AP| =|P
—1
(λE—A)P |=IP
—1
||λE—A||P |=|λE—A|。 所以A、B的特征多项式相等。 (Ⅱ)令A=[*] 那么|λE—A|=λ
2
=|AE—B|。但是A,B不相似。否则,存在可逆矩阵P,使P
—1
AP=B=D,从而A=POP
—1
=D与已知矛盾。也可从r(A)=1,r(B)=0,知A与B不相似。 (Ⅲ)由A,B均为实对称矩阵知,A,B均相似于对角阵,若A,B的特征多项式相等,记特征多项式的根为λ
1
,…,λ
n
,则有 [*] 所以存在可逆矩阵P,Q,使P
—1
AP=[*]=Q
—1
BQ。 因此有(PQ
—1
)
—1
A(PQ
—1
)=B,矩阵A与B相似。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/hmH4777K
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考研数学三
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