2. 考研
  3. 设A，B为同阶方阵。 （Ⅰ）若A，B相似，证明A，B的特征多项式相等； （Ⅱ）举一个二阶方阵的例子说明（Ⅰ）的逆命题不成立； （Ⅲ）当A，B均为实对称矩阵时，证明（Ⅰ）的逆命题成立。

设A，B为同阶方阵。 （Ⅰ）若A，B相似，证明A，B的特征多项式相等； （Ⅱ）举一个二阶方阵的例子说明（Ⅰ）的逆命题不成立； （Ⅲ）当A，B均为实对称矩阵时，证明（Ⅰ）的逆命题成立。

admin2017-01-21  105
问题 设A，B为同阶方阵。
（Ⅰ）若A，B相似，证明A，B的特征多项式相等；
（Ⅱ）举一个二阶方阵的例子说明（Ⅰ）的逆命题不成立；
（Ⅲ）当A，B均为实对称矩阵时，证明（Ⅰ）的逆命题成立。
选项
答案（Ⅰ）若A，B相似，那么存在可逆矩阵P，使P—1AP=B，则 |λE—B|=|λE—P—1AP|=|P—1λEP—P—1AP| =|P—1（λE—A）P |=IP—1||λE—A||P |=|λE—A|。 所以A、B的特征多项式相等。 （Ⅱ）令A=[*] 那么|λE—A|=λ2=|AE—B|。但是A，B不相似。否则，存在可逆矩阵P，使P—1AP=B=D，从而A=POP—1=D与已知矛盾。也可从r（A）=1，r（B）=0，知A与B不相似。 （Ⅲ）由A，B均为实对称矩阵知，A，B均相似于对角阵，若A，B的特征多项式相等，记特征多项式的根为λ1，…，λn，则有 [*] 所以存在可逆矩阵P，Q，使P—1AP=[*]=Q—1BQ。 因此有（PQ—1）—1A（PQ—1）=B，矩阵A与B相似。
解析
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考研数学三

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