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求证:χ∈[0,1]时,≤χp+(1-χ)p≤1,p>1;1≤χp+(1-χ)p≤,0<p<1.
求证:χ∈[0,1]时,≤χp+(1-χ)p≤1,p>1;1≤χp+(1-χ)p≤,0<p<1.
admin
2017-04-11
26
问题
求证:χ∈[0,1]时,
≤χ
p
+(1-χ)
p
≤1,p>1;1≤χ
p
+(1-χ)
p
≤
,0<p<1.
选项
答案
令f(χ)=χ
p
+(1-χ)
p
,则f(χ)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且有f′(χ)=p[χ
p-1
-(1-χ)
p-1
].令f′(χ)=0得χ=[*]. 易知f(0)=f(1)=1,[*]. 当p>1时,1>[*]f(χ)在[0,1]的最大值为1,最小值为[*] [*]≤f(χ)≤1,χ∈[0,1]. 当0<p<1时,1<[*]f(χ)在[0,1]的最大值为[*],最小值为1 [*],χ∈[0,1].
解析
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考研数学二
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