写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程： (1)曲线在点(x，y)处的切线的斜率等于该点的横坐标的平方； (2)曲线上点P(x，y)处的法线与x轴的交点为Q，且线段PQ被y轴平分； (3)曲线上点P(x，y)处的切线与y轴的交点为Q，线段PQ的长度为2，

admin2011-11-19 82

问题写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程：
(1)曲线在点(x，y)处的切线的斜率等于该点的横坐标的平方；
(2)曲线上点P(x，y)处的法线与x轴的交点为Q，且线段PQ被y轴平分；
(3)曲线上点P(x，y)处的切线与y轴的交点为Q，线段PQ的长度为2，且曲线通过点(2，0)；
(4)曲线上点M(x，y)处的切线与x轴、Y轴的交点依次为P与Q，线段PM被点Q平分，且曲线通过点(3，1)．

选项

答案(1)设曲线方程为y＝y(x)，则曲线在点(x，y)处的切线的斜率为yˊ，由条件有yˊ＝x²． (2)曲线在点P(x，y)处法线为(X－x)＋yˊ(Y－y)＝0，其与x轴交点设为Q(x_Q，0)，则(x－x)＋yˊ(0－y)＝0，X_Q＝x+＋yyˊ，由已知，PQ被y轴平分，即x_P＋x_Q＝0，x＋x＋yyˊ＝2x＋yyˊ＝0即为曲线y＝y(x)须满足的微分方程． (3)P(x,y)点处的切线方程为Y－y＝yˊ(X－x)，设X＝0，解得Y＝y－yˊx，故与y轴的交 [*]

解析

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考研数学三

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考研数学三

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