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写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程: (1)曲线在点(x,y)处的切线的斜率等于该点的横坐标的平方; (2)曲线上点P(x,y)处的法线与x轴的交点为Q,且线段PQ被y轴平分; (3)曲线上点P(x,y)处的切线与y轴的交点为Q,线段PQ的长度为2,
写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程: (1)曲线在点(x,y)处的切线的斜率等于该点的横坐标的平方; (2)曲线上点P(x,y)处的法线与x轴的交点为Q,且线段PQ被y轴平分; (3)曲线上点P(x,y)处的切线与y轴的交点为Q,线段PQ的长度为2,
admin
2011-11-19
112
问题
写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程:
(1)曲线在点(x,y)处的切线的斜率等于该点的横坐标的平方;
(2)曲线上点P(x,y)处的法线与x轴的交点为Q,且线段PQ被y轴平分;
(3)曲线上点P(x,y)处的切线与y轴的交点为Q,线段PQ的长度为2,且曲线通过点(2,0);
(4)曲线上点M(x,y)处的切线与x轴、Y轴的交点依次为P与Q,线段PM被点Q平分,且曲线通过点(3,1).
选项
答案
(1)设曲线方程为y=y(x),则曲线在点(x,y)处的切线的斜率为yˊ,由条件有yˊ=x
2
. (2)曲线在点P(x,y)处法线为(X-x)+yˊ(Y-y)=0,其与x轴交点设为Q(x
Q
,0),则(x-x)+yˊ(0-y)=0,X
Q
=x++yyˊ,由已知,PQ被y轴平分,即x
P
+x
Q
=0,x+x+yyˊ=2x+yyˊ=0即为曲线y=y(x)须满足的微分方程. (3)P(x,y)点处的切线方程为Y-y=yˊ(X-x),设X=0,解得Y=y-yˊx,故与y轴的交 [*]
解析
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考研数学三
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