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已知a、b、c都是实数,f(x)=一x3+ax2+bx+c在(一∞,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数,1是关于x的方程f(x)=0的一个实数根. (1)求b的值; (2)求f(2)的取值范围; (3)若直线y=x一1与函数y=
已知a、b、c都是实数,f(x)=一x3+ax2+bx+c在(一∞,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数,1是关于x的方程f(x)=0的一个实数根. (1)求b的值; (2)求f(2)的取值范围; (3)若直线y=x一1与函数y=
admin
2015-10-17
32
问题
已知a、b、c都是实数,f(x)=一x
3
+ax
2
+bx+c在(一∞,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数,1是关于x的方程f(x)=0的一个实数根.
(1)求b的值;
(2)求f(2)的取值范围;
(3)若直线y=x一1与函数y=f(x)的图象有三个互不相同的交点,求a的取值范围.
选项
答案
(1)依题意,x=0是f’(x)=一3x
2
+2x+b=0的根,故f’(0)=0,即b=0. (2)由(1)得,f(x)=x
3
+ax
2
+c, 因为x=1是方程f(x)=0的一个实根, 则f(1)=一1+a+c=0,即c=1-a, 故f(x)=一x
3
+ax
2
+1一a,所以f(2)=3a一7. 因为f’(x)=x(一3x+2a),且f(x)在(一∞,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数,则 [*] (3)根据题意,直线y=x一1与的交点即为方程x一1=一x
3
+ax
2
+1一a的根. 因为x=1已经为上式的根,所以提取公因式化简得,(x一1)[x
2
+(1一a)x+(2一a)]=0, 当△=(1一a)
2
一4(2一a)=a
2
+2a一7>0时,直线y=x一1与f(x)的交点为三个, 解得[*].
解析
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0
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