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设某厂生产甲、乙两种产品,当这两种产品的产量分别为x和y(单位:吨)时总收益函数为R(x,y)=27x+42y-x2-2xy-4y2,总成本函数为C(x,y)=36+12x+8y(单位:万元)。除此之外,生产甲种产品每吨还需支付排污费1万元,生产乙种产品每
设某厂生产甲、乙两种产品,当这两种产品的产量分别为x和y(单位:吨)时总收益函数为R(x,y)=27x+42y-x2-2xy-4y2,总成本函数为C(x,y)=36+12x+8y(单位:万元)。除此之外,生产甲种产品每吨还需支付排污费1万元,生产乙种产品每
admin
2017-11-30
28
问题
设某厂生产甲、乙两种产品,当这两种产品的产量分别为x和y(单位:吨)时总收益函数为R(x,y)=27x+42y-x
2
-2xy-4y
2
,总成本函数为C(x,y)=36+12x+8y(单位:万元)。除此之外,生产甲种产品每吨还需支付排污费1万元,生产乙种产品每吨还需支付排污费2万元。
(Ⅰ)在不限制排污费用支出的情况下,这两种产品的产量各为多少时总利润最大?总利润是多少?
(Ⅱ)当限制排污费用支出总和为6万元的情况下,这两种产品的产量各为多少时总利润最大?最大利润是多少?
选项
答案
(Ⅰ)总利润函数L(x,y)为 L(x,y)=R(x,y)-C(x,y)-x-2y=14x+32y-x
2
-2xy-4y
2
-36。 求L(x,y)的驻点,令 [*] 可解得唯一驻点x=4,y=3,且此时L(x,y)=40。 因驻点唯一,且实际问题必有最大利润,故计算结果表明,在不限制排污费用支出的情况下,当甲、乙两种产品的产量分别为x=4(吨)和y=3(吨)时,总利润达到最大值,且总利润是40万元。 (Ⅱ)求总利润函数L(x,y)在约束条件x+2y=6下的最大值,可用拉格朗日乘数法。引入拉格朗日函数 F(x,y,λ)=L(x,y)+λ(x+2y-6), 求F(x,y,λ)的驻点,令 [*] 可解得唯一驻点x=2,y=2,且此时L(x,y)=28。 因驻点唯一,且实际问题必有最大利润,故计算结果表明,当排污费用限于6万元的情况下,两种产品的产量均为2吨时总利润最大,最大利润为28万元。
解析
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考研数学三
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