已知非齐次线性方程组有三个线性无关的解。证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2；

admin2018-04-12 49

问题已知非齐次线性方程组

有三个线性无关的解。
证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2；

选项

答案设α₁，α₂，α₃是方程组Ax=β的三个线性无关的解，其中 [*] 则有A(α₁一α₂)=0，A(α₁一α₃)=0。那么α₁一α₂，α₁一α₃是对应齐次线性方程组Ax=0的解，且线性无关(否则，易推出α₁，α₂，α₃线性相关，矛盾)。所以n一r(A)≥2，即4一r(A)≥2[*]r(A)≤2。又矩阵A中有一个2阶子式[*]=一1≠0，所以r(A)≥2。因此，r(A)=2。

解析非齐次线性方程组有三个线性无关的解，可以得到齐次线性方程组有两个线性无关的解，由于基础解系中有4一r(A)个向量，由此可以得到r(A)≤2；接下来再证明r(A)≥2即可。

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考研数学二

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