已知非齐次线性方程组有三个线性无关的解。证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2；

admin2018-04-12 70

问题已知非齐次线性方程组

有三个线性无关的解。
证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2；

选项

答案设α₁，α₂，α₃是方程组Ax=β的三个线性无关的解，其中 [*] 则有A(α₁一α₂)=0，A(α₁一α₃)=0。那么α₁一α₂，α₁一α₃是对应齐次线性方程组Ax=0的解，且线性无关(否则，易推出α₁，α₂，α₃线性相关，矛盾)。所以n一r(A)≥2，即4一r(A)≥2[*]r(A)≤2。又矩阵A中有一个2阶子式[*]=一1≠0，所以r(A)≥2。因此，r(A)=2。

解析非齐次线性方程组有三个线性无关的解，可以得到齐次线性方程组有两个线性无关的解，由于基础解系中有4一r(A)个向量，由此可以得到r(A)≤2；接下来再证明r(A)≥2即可。

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考研数学二

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已知非齐次线性方程组有三个线性无关的解。证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2；

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设A是n(n>1)阶矩阵，满足Ak=2E(k>2，k∈Z+)，则(A+)k=()．

设函数f(x)在(-∞，+∞)上有定义，在区间[0，2]上，f(x)=x(x2-4)，若对任意的x都满足f(x)=kf(x+2)，其中k为常数．问k为何值时，f(x)在x=0处可导．

设函数f(x)，g(x)在上连续，且g(x)>0，利用闭区间上连续函数性质，证明存在一点ξ∈(a，b)，使

设(1)计算行列式｜A｜；(2)当实数a为何值时，方程组Ax＝β有无穷多解，并求其通解．

设A为3阶实对称矩阵，且满足条件A2+2A=0，已知A的秩r(A)=2．当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解．求A的特征值与特征向量；

设已知线性方程组Ax=6存在2个不同的解。求λ．a；

对(I)中的任意向量ξ2，ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3线性无关．

求证：元素均为1或-1的n(n≥2)阶行列式D的值为偶数．

记行列式为f(x)，则方程f(x)＝0的根的个数为

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