设f(x)=|(x—1)(x—2)2(x—3)3|,则导数f’(x)不存在的点的个数是( )

admin2020-03-24  35

问题 设f(x)=|(x—1)(x—2)2(x—3)3|,则导数f’(x)不存在的点的个数是(     )

选项 A、0
B、1
C、2
D、3

答案B

解析 考查带有绝对值的函数在x0点处是否可导,可以借助如下结论:
设f(x)为可导函数,则
(1)若f(x0)≠0,且f(x)在x0处可导,则|f(x)|在x0处可导;
(2)若f(x0)=0,且f’(x0)=0,则|f(x)|在x0处可导;
(3)若f(x0)=0,且f’(x0)≠0,则|f(x)|在x0处不可导。
设φ(x)=(x—1)(x—2)2(x—3)3,则f(x)=|φ(x)|。f’(x)不存在的点就是f(x)不可导的点,根据上述结论可知,使φ(x) =0的点x1=1,x2=2,x3=3可能为不可导点,故只需验证φ’(xi),i=1,2,3是否为零即可,而
φ’(x)=(x—2)2(x—3)3+2(x—1)(x—2)(x—3)3+3(x—1)(x—2)2(x—3)3,显然,φ’(1)≠0,φ’(2)=0,φ’(3)=0,所以只有一个不可导点x=1。故选B。
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