设(I)和(Ⅱ)是两个四元齐次线性方程组,(I)为 (Ⅱ)有一个基础解系(0,1,1,0)T,(一1,2,2,1)T.求(I)和(Ⅱ)的全部公共解.

admin2017-10-21  30

问题 设(I)和(Ⅱ)是两个四元齐次线性方程组,(I)为

(Ⅱ)有一个基础解系(0,1,1,0)T,(一1,2,2,1)T.求(I)和(Ⅱ)的全部公共解.

选项

答案一种思路是构造一个线性方程组(Ⅲ),使得它也以η1,η2为基础解系.于是(Ⅲ)和(Ⅱ)同解,从而(I)和(Ⅱ)的公共解也就是(I)和(Ⅲ)的公共解,可以解(I)和(Ⅲ)的联立方程组来求得.例如(Ⅲ)可以是: [*] 这种思路的困难在于构造方程组(Ⅲ),在考场上不是每个考生都能很顺利完成的. 另一种思路为:(I)和(Ⅱ)的公共解都必定是(Ⅱ)的解,因此有c1η1+c2η2的形式.它又满足(I),由此可决定c1与c2应该满足的条件. 具体计算过程:将c1η1+c2η2=(一c2,c1+2c2,c1+2c2,c1)T,代入(I),得到 [*] 解出c1+c2=0.即当c1+c2=0时c1η1+c2η2也是(I)的解.于是(I)和(Ⅱ)的公共解为:c(η1一η2),其中c可取任意常数.

解析
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