[2014年] 设函数f(u)连续可导，z=f(excosy)满足若f(0)=0，求f(u)的表达式．

admin2019-07-16 33

问题 [2014年] 设函数f(u)连续可导，z=f(e^xcosy)满足

若f(0)=0，求f(u)的表达式．

选项

答案令u=e^xcosy，则[*]将其代入所给方程得到 f’(u)e^xcos²y+f’(u)e^xsin²y=4[f(u)+u]e^x， f’(u)－4f(u)=u， ① 亦即f’(u)+(－4u)’f(u)=u． ② 在方程②两边乘以e^－4u得到 e^－4uf’(u)－4e^－4uf(u)=[e^－4uf(u)]’=ue^－4u，两边积分得到[*] 则[*]其中C为任意常数．由f(0)=0得[*]故[*] 也可用一阶线性微分方程的通解公式(1．6．1．1)求解方程①，得到式③． [*]

解析

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