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[2014年] 设函数f(u)连续可导,z=f(excosy)满足 若f(0)=0,求f(u)的表达式.
[2014年] 设函数f(u)连续可导,z=f(excosy)满足 若f(0)=0,求f(u)的表达式.
admin
2019-07-16
55
问题
[2014年] 设函数f(u)连续可导,z=f(e
x
cosy)满足
若f(0)=0,求f(u)的表达式.
选项
答案
令u=e
x
cosy,则[*]将其代入所给方程得到 f’(u)e
x
cos
2
y+f’(u)e
x
sin
2
y=4[f(u)+u]e
x
, f’(u)-4f(u)=u, ① 亦即f’(u)+(-4u)’f(u)=u. ② 在方程②两边乘以e
-4u
得到 e
-4u
f’(u)-4e
-4u
f(u)=[e
-4u
f(u)]’=ue
-4u
, 两边积分得到[*] 则[*]其中C为任意常数. 由f(0)=0得[*]故[*] 也可用一阶线性微分方程的通解公式(1.6.1.1)求解方程①,得到式③. [*]
解析
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考研数学三
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