证明n维列向量α1，α2，…，αn线性无关的充要条件是

admin2016-10-20 61

问题证明n维列向量α₁，α₂，…，α_n线性无关的充要条件是

选项

答案(1)令A=(α₁，α₂，…，α_n)，则D=｜A^TA｜．那么 D=｜A^TA｜=｜A^T｜｜A｜=｜A｜²．可见｜A｜≠0的充要条件是D≠0，即α₁，α₂，…，α₃线性无关的充要条件是D≠0． (2)如x₁α₁+x₂α₂+…+x_nα_n=0，分别用α₁，α₂，…，α_n作内积，有 [*]

解析要证n个n维向量线性无关，可利用充要条件｜α₁，α₂，…，α_n｜≠0．由于内积
(α，β)=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=(a₁，a₂，…，a_n)

=α^Tβ，对行列式D可用分块矩阵恒等变形．

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