考虑二次型f=x12+4x22+4x32+2λx1x2-2x1x3+4x2x3，问λ取何值时，f为正定二次型．

admin2020-07-02 47

问题考虑二次型f=x₁²+4x₂²+4x₃²+2λx₁x₂-2x₁x₃+4x₂x₃，问λ取何值时，f为正定二次型．

选项

答案二次型门f矩阵为A=[*] 二次型f正定的充分必要条件是：A的顺序主子式全为正，事实上，A的顺序主子式为：D₁=1＞0，D₂=[*]=4-λ²．D₃=[*]=-4λ²-4λ+8=-4(λ-1)(λ+2)．于是，二次型厂正定的充分必要条件是D₂＞0，D₃＞0．由D₂=4-λ²>0得-2＜λ＜2，由D₃=-4(λ-1)(λ+2)＞0得-2＜λ＜1．于是，当且仅当-2＜λ＜1二次型，正定．

解析

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考研数学三

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(2002年)设D1是由抛物线y=2x2和x=a，x=2及y=0所围成的平面区域；D2是由抛物线y=2x2和直线y=0，x=a所围成的平面区域，其中0＜a＜2。(I)试求D1绕x轴旋转而成的旋转体体积V1；D2绕y轴旋转而成的旋转体积V2；

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