已知f(x，y)在点(x0，y0)的偏导数存在．则下列结论正确的是 ( )

admin2014-10-21 75

问题已知f(x，y)在点(x₀，y₀)的偏导数存在．则下列结论正确的是 ( )

选项 A、f(x，y)在(x₀，y₀)点连续
B、f(x，y)在(x₀，y₀)点可微
C、函数f(x，y₀)在x＝x₀点连续
D、f(x，y)在(x₀，y₀)点有任意方向的方向导数

答案C

解析根据多元函数的连续、可导、可微之间的关系可知A、B是错误的．对于C，因F(x)＝F(x，y₀)是关于x的一元函数，从而F’(x₀)＝f_x(x₀，y₀)是存在的，因此一元函数F(x)＝f(x，y₀)在x＝x₀处是连续的．从而C是正确的．对于D，我们知道，如果f(x，y)在点(x₀，y₀)可微，则在点(x₀，y₀)处沿任意方向的方向导数都存在．但两个偏导数存在并不意味着可微，所以此结论的正确性是有疑问的．
事实上，对于函数f(x，y)＝

，可以证明在原点的两个偏导数都为零，但是沿方向{1，1}的方向导数不存在．答案为C．

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