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设 ①求作可逆矩阵P,使得(AP)TAP是对角矩阵. ②k取什么值时A+kE正定?
设 ①求作可逆矩阵P,使得(AP)TAP是对角矩阵. ②k取什么值时A+kE正定?
admin
2016-07-29
52
问题
设
①求作可逆矩阵P,使得(AP)
T
AP是对角矩阵.
②k取什么值时A+kE正定?
选项
答案
①(AP)
T
AP=P
T
A
T
AP=P
T
A
2
P,于是如果用可逆线性变量替换把二次型x
T
A
2
x化为标准二次型,则变换矩阵P就是所求. 用配方法. [*] x
T
A
2
x=x
1
2
+x
2
2
+5x
3
2
+20x
4
2
+20x3x4=x
1
2
+x
2
2
+5(x
3
+2x
4
)
2
, 则令 [*] 则x
T
A
2
x=y
1
2
+y
2
2
+5y
3
2
,所做变换为 [*] 变换矩阵 [*] (AP)
T
AP=P
T
A
2
P=[*] ②求出|λE—A|=(λ
2
—1)(λ
2
—5λ),A的特征值为一1,0,1,5,则A+kE的特征值为k一1,k,k+1,k+5,于是当k>1时A+kE正定.
解析
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考研数学三
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