设 ①求作可逆矩阵P，使得（AP）TAP是对角矩阵． ②k取什么值时A+kE正定?

admin2016-07-29 50

问题设

①求作可逆矩阵P，使得（AP）^TAP是对角矩阵．
②k取什么值时A+kE正定?

选项

答案①(AP)^TAP=P^TA^TAP=P^TA²P，于是如果用可逆线性变量替换把二次型x^TA²x化为标准二次型，则变换矩阵P就是所求．用配方法． [*] x^TA²x=x₁²+x₂²+5x₃²+20x₄²+20x3x4=x₁²+x₂²+5(x₃+2x₄)²，则令 [*] 则x^TA²x=y₁²+y₂²+5y₃²，所做变换为 [*] 变换矩阵 [*] (AP)^TAP=P^TA²P=[*] ②求出|λE—A|=(λ²—1)(λ²—5λ)，A的特征值为一1，0，1，5，则A+kE的特征值为k一1，k，k+1，k+5，于是当k＞1时A+kE正定．

解析

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