设λ为可逆方阵A的一个特征值，证明： (1)1／λ为A－1的特征值； (2)|A|／λ为A的伴随矩阵A*的特征值．

admin2018-07-27 54

问题设λ为可逆方阵A的一个特征值，证明：
(1)1／λ为A^－1的特征值；
(2)|A|／λ为A的伴随矩阵A^*的特征值．

选项

答案由λ为A的特征值，知存在非零列向量x，使Ax=λx，由此知λ≠0，否则λ=0，则有Ax=0，[*]|A|=0，这与A可逆矛盾，故λ≠0．用A^－1左乘Ax=λx两端，再用1／λ两端，得A^－1x=1／λx，由定义即知1／λ为A^－1的一个特征值且x为对应的特征向量．因A^－1=1／|A|A^*，故由A^－1x=1／λx，即1／|x|A^*=1／λx，[*]A^*x=|x|／λx，所以，|A|／λ为A^*的一个特征值且x为对应的特征向量．

解析

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考研数学三

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