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设λ为可逆方阵A的一个特征值,证明: (1)1/λ为A-1的特征值; (2)|A|/λ为A的伴随矩阵A*的特征值.
设λ为可逆方阵A的一个特征值,证明: (1)1/λ为A-1的特征值; (2)|A|/λ为A的伴随矩阵A*的特征值.
admin
2018-07-27
47
问题
设λ为可逆方阵A的一个特征值,证明:
(1)1/λ为A
-1
的特征值;
(2)|A|/λ为A的伴随矩阵A
*
的特征值.
选项
答案
由λ为A的特征值,知存在非零列向量x,使Ax=λx,由此知λ≠0,否则λ=0,则有Ax=0,[*]|A|=0,这与A可逆矛盾,故λ≠0.用A
-1
左乘Ax=λx两端,再用1/λ两端,得A
-1
x=1/λx,由定义即知1/λ为A
-1
的一个特征值且x为对应的特征向量.因A
-1
=1/|A|A
*
,故由A
-1
x=1/λx,即1/|x|A
*
=1/λx,[*]A
*
x=|x|/λx,所以,|A|/λ为A
*
的一个特征值且x为对应的特征向量.
解析
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考研数学三
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