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已知三元二次型XTAX的平方项系数全为0,设α=[1,2,一1]T且满足Aα=2α. (1)求该二次型的表示式; (2)求正交变换X=QY化该二次型为标准形,并写出所用坐标变换; (3)若A+kE正定,求k的取值.
已知三元二次型XTAX的平方项系数全为0,设α=[1,2,一1]T且满足Aα=2α. (1)求该二次型的表示式; (2)求正交变换X=QY化该二次型为标准形,并写出所用坐标变换; (3)若A+kE正定,求k的取值.
admin
2016-11-03
23
问题
已知三元二次型X
T
AX的平方项系数全为0,设α=[1,2,一1]
T
且满足Aα=2α.
(1)求该二次型的表示式;
(2)求正交变换X=QY化该二次型为标准形,并写出所用坐标变换;
(3)若A+kE正定,求k的取值.
选项
答案
(1)由题设得到 [*] 利用三阶行列式的算法和克拉默法则,得到 [*] 故该二次型为 X
T
AX=4x
1
x
2
+4x
1
x
3
—4x
2
x
3
. (2)由 |λE-A|=[*]=(λ-2)
2
(λ+4)=0 得到A的特征值为 λ
1
=λ
2
=2, λ
3
=-4. 即λ
1
为二重根,可用基础解系正交化的方法求出正交矩阵. 解(2E-A)X=0. 由[*]=B ① 得到属于λ
1
=2的一个特征向量 α
1
=[1,1,0]
T
, 另一个与之正交的特征向量设为X=[x
1
,x
2
,x
3
]
T
,则 BX=x
1
-x
2
-x
3
=0. ② 又由[*]X=0得到 x
1
+x
2
=0, ③ 联立式②与式③解之.由 [*] 得到与α
1
正交的特征向量为 β
2
=[1/2,一1/2,1]
T
. β
2
也可用施密特正交化的方法求得.为此,先由式①取两个线性无关的特征向量: α
1
=[1,1,0]
T
, α
2
=[1,0,1]
T
. 令β
1
=α
1
,则 β
2
=α
2
-[*] 当λ
3
=-4时,求解(一4E一A)X=0.由 [*] 得到属于λ
3
=-4的特征向量α
3
=[一1,1,1]
T
.于是α
1
,β
2
,α
3
为两两正交的特征向量.将α
1
,β
2
,α
3
单位化得到 [*] 令Q=[η
1
,η
2
,η
3
],则Q为正交矩阵.作坐标变换X=QY,则在此坐标变换下原二次型化为标准形: X
T
AX=Y
T
[*] (3)因A+kE的特征值为k+2,k+2,k一4,故当k>4时,矩阵A+kE正定.
解析
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