已知三元二次型XTAX的平方项系数全为0,设α=[1,2,一1]T且满足Aα=2α. (1)求该二次型的表示式; (2)求正交变换X=QY化该二次型为标准形,并写出所用坐标变换; (3)若A+kE正定,求k的取值.

admin2016-11-03  25

问题 已知三元二次型XTAX的平方项系数全为0,设α=[1,2,一1]T且满足Aα=2α.
(1)求该二次型的表示式;
(2)求正交变换X=QY化该二次型为标准形,并写出所用坐标变换;
(3)若A+kE正定,求k的取值.

选项

答案(1)由题设得到 [*] 利用三阶行列式的算法和克拉默法则,得到 [*] 故该二次型为 XTAX=4x1x2+4x1x3—4x2x3. (2)由 |λE-A|=[*]=(λ-2)2(λ+4)=0 得到A的特征值为 λ12=2, λ3=-4. 即λ1为二重根,可用基础解系正交化的方法求出正交矩阵. 解(2E-A)X=0. 由[*]=B ① 得到属于λ1=2的一个特征向量 α1=[1,1,0]T, 另一个与之正交的特征向量设为X=[x1,x2,x3]T,则 BX=x1-x2-x3=0. ② 又由[*]X=0得到 x1+x2=0, ③ 联立式②与式③解之.由 [*] 得到与α1正交的特征向量为 β2=[1/2,一1/2,1]T. β2也可用施密特正交化的方法求得.为此,先由式①取两个线性无关的特征向量: α1=[1,1,0]T, α2=[1,0,1]T. 令β11,则 β22-[*] 当λ3=-4时,求解(一4E一A)X=0.由 [*] 得到属于λ3=-4的特征向量α3=[一1,1,1]T.于是α1,β2,α3为两两正交的特征向量.将α1,β2,α3单位化得到 [*] 令Q=[η1,η2,η3],则Q为正交矩阵.作坐标变换X=QY,则在此坐标变换下原二次型化为标准形: XTAX=YT[*] (3)因A+kE的特征值为k+2,k+2,k一4,故当k>4时,矩阵A+kE正定.

解析
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