2. 考研
  3. 已知三元二次型XTAX的平方项系数全为0，设α=[1，2，一1]T且满足Aα=2α． (1)求该二次型的表示式； (2)求正交变换X=QY化该二次型为标准形，并写出所用坐标变换； (3)若A+kE正定，求k的取值．

已知三元二次型XTAX的平方项系数全为0，设α=[1，2，一1]T且满足Aα=2α． (1)求该二次型的表示式； (2)求正交变换X=QY化该二次型为标准形，并写出所用坐标变换； (3)若A+kE正定，求k的取值．

admin2016-11-03  43
问题 已知三元二次型XTAX的平方项系数全为0，设α=[1，2，一1]T且满足Aα=2α．
(1)求该二次型的表示式；
(2)求正交变换X=QY化该二次型为标准形，并写出所用坐标变换；
(3)若A+kE正定，求k的取值．
选项
答案(1)由题设得到 [*] 利用三阶行列式的算法和克拉默法则，得到 [*] 故该二次型为 XTAX=4x1x2+4x1x3—4x2x3． (2)由 ｜λE－A｜=[*]=(λ－2)2(λ+4)=0 得到A的特征值为 λ1=λ2=2， λ3=－4． 即λ1为二重根，可用基础解系正交化的方法求出正交矩阵． 解(2E－A)X=0． 由[*]=B ① 得到属于λ1=2的一个特征向量 α1=[1，1，0]T， 另一个与之正交的特征向量设为X=[x1，x2，x3]T，则 BX=x1－x2－x3=0． ② 又由[*]X=0得到 x1+x2=0， ③ 联立式②与式③解之．由 [*] 得到与α1正交的特征向量为 β2=[1／2，一1／2，1]T． β2也可用施密特正交化的方法求得．为此，先由式①取两个线性无关的特征向量： α1=[1，1，0]T， α2=[1，0，1]T． 令β1=α1，则 β2=α2－[*] 当λ3=－4时，求解(一4E一A)X=0．由 [*] 得到属于λ3=－4的特征向量α3=[一1，1，1]T．于是α1，β2，α3为两两正交的特征向量．将α1，β2，α3单位化得到 [*] 令Q=[η1，η2，η3]，则Q为正交矩阵．作坐标变换X=QY，则在此坐标变换下原二次型化为标准形： XTAX=YT[*] (3)因A+kE的特征值为k+2，k+2，k一4，故当k＞4时，矩阵A+kE正定．
解析
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考研数学一

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