2. 考研
  3. 设矩阵A=(aij)n×n的秩为n，aij的代数余子式为Aij(i，j=1，2，…，n)。记A的前r行组成的r×n矩阵为B，证明：向量组是齐次线性方程组Bx=0的基础解系。

设矩阵A=(aij)n×n的秩为n，aij的代数余子式为Aij(i，j=1，2，…，n)。记A的前r行组成的r×n矩阵为B，证明：向量组是齐次线性方程组Bx=0的基础解系。

admin2015-09-14  43
问题 设矩阵A=(aij)n×n的秩为n，aij的代数余子式为Aij(i，j=1，2，…，n)。记A的前r行组成的r×n矩阵为B，证明：向量组是齐次线性方程组Bx=0的基础解系。
选项
答案r(B)=r，[*]方程组Bx=0的基础解系含n—r个向量，故只要证明α1，α2，…，αn-r，是方程组Bx=0的线性无关解向量即可。首先，由行列式的性质，有[*]=0(i=1，2，…，r；k=r+1，r+2，…，n)。故α1，α2，…，αn-r都是Bx=0的解向量；其次，由于|A*|=|A|n-1≠0，知A*的列向量组线性无关，而α1，α2，…，αn-r，正好是A*的后n-r列，故α1，α2，…，αn-r线性无关，因此α1，α2，…，αn-r是Bx=0的n一r个线性无关解向量，从而可作为Bx=0的基础解系。
解析
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考研数学三

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