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设二次型f=x12+x22+x32+2αx1x2一2βx2x3+2x1x3经正交交换X=PY化成f=y22+2y32，其中X=(x1，x2，x3)T和Y=(y1，y2，y3)T是3维列向量，P是3阶正交矩阵，试求常数α，β。
设二次型f=x12+x22+x32+2αx1x2一2βx2x3+2x1x3经正交交换X=PY化成f=y22+2y32，其中X=(x1，x2，x3)T和Y=(y1，y2，y3)T是3维列向量，P是3阶正交矩阵，试求常数α，β。
admin
2015-09-14
54
问题
设二次型f=x
1
2
+x
2
2
+x
3
2
+2αx
1
x
2
一2βx
2
x
3
+2x
1
x
3
经正交交换X=PY化成f=y
2
2
+2y
3
2
，其中X=(x
1
，x
2
，x
3
)
T
和Y=(y
1
，y
2
，y
3
)
T
是3维列向量，P是3阶正交矩阵，试求常数α，β。
选项
答案
变换前后二次型的矩阵分别为 [*] 由题设条件有 P
-1
AP=P
T
AP=B 因此 |λE一A|=|λE一B| 即[*] 得 λ
3
一3λ
2
+(2一α
2
一β
2
)λ+(α一β
2
=λ
3
一3λ
2
+2λ 解得α=β=0为所求常数。
解析
本题主要考查用正交变换化二次型为标准形的概念及相似矩阵的性质。注意，用正交变换X=PY(P为正交矩阵)化二次型f=X
T
AX(A为实对称矩阵)为标准形f=Y
T
BY(B为对角矩阵)，其实质就是用正交矩阵P化实对称矩阵A为对角矩阵B，即P为满足P
-1
AP=P
T
AP=B的正交矩阵，进一步求出本题所用正交矩阵P。
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考研数学三
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