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已知齐次线性方程组=有非零解，且矩阵A=是正定矩阵．(1)求a的值；(2)求当XTX=2时，XTAX的最大值．其中X=(x1，x2，x3)T∈R3．
已知齐次线性方程组=有非零解，且矩阵A=是正定矩阵．(1)求a的值；(2)求当XTX=2时，XTAX的最大值．其中X=(x1，x2，x3)T∈R3．
admin
2019-05-11
95
问题
已知齐次线性方程组=
有非零解，且矩阵A=
是正定矩阵．(1)求a的值；(2)求当X
T
X=2时，X
T
AX的最大值．其中X=(x
1
，x
2
，x
3
)
T
∈R
3
．
选项
答案
(1)由方程组的系数行列式△=a(a+1)(a-3)=0，[*]a的取值范围为：0，-1，3，再由矩阵A正定，得a=3； (2)可求得A的最大特征值为10，设对应的单位特征向量为ξ(即Aξ=10ξ，且ξ
T
ξ=1)．对二次型X
T
Ax，存在正交变换X=Py，使X
T
AX[*]λ
1
y
1
2
+λ
2
y
2
2
+λ
3
y
3
2
≤10(y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
)，当X
T
X=Y
T
Y=y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
=2时，有X
T
AX≤10×2=20．又X
0
=[*]满足X
0
T
X
0
=2，且X
0
T
AX
0
=[*]=2ξ
T
(Aξ) =2ξ
T
(10ξ)=20(ξ
T
ξ)=20，综上可知[*]X
T
AX=20．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/j5V4777K
0
考研数学二
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