2. 考研
  3. 已知齐次线性方程组=有非零解，且矩阵A=是正定矩阵．(1)求a的值；(2)求当XTX=2时，XTAX的最大值．其中X=(x1，x2，x3)T∈R3．

已知齐次线性方程组=有非零解，且矩阵A=是正定矩阵．(1)求a的值；(2)求当XTX=2时，XTAX的最大值．其中X=(x1，x2，x3)T∈R3．

admin2019-05-11  54
问题 已知齐次线性方程组=有非零解，且矩阵A=是正定矩阵．(1)求a的值；(2)求当XTX=2时，XTAX的最大值．其中X=(x1，x2，x3)T∈R3．
选项
答案(1)由方程组的系数行列式△=a(a+1)(a-3)=0，[*]a的取值范围为：0，-1，3，再由矩阵A正定，得a=3； (2)可求得A的最大特征值为10，设对应的单位特征向量为ξ(即Aξ=10ξ，且ξTξ=1)．对二次型XTAx，存在正交变换X=Py，使XTAX[*]λ1y12+λ2y22+λ3y32≤10(y12+y22+y32)，当XTX=YTY=y12 +y22+y32=2时，有XTAX≤10×2=20．又X0=[*]满足X0TX0=2，且X0TAX0=[*]=2ξT(Aξ) =2ξT(10ξ)=20(ξTξ)=20，综上可知[*]XTAX=20．
解析
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考研数学二

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