2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，证明对于任意给定的正数a，b，在(0，1)内至少存在两个不同的点ξ，η，使得 af′(ξ)+bf′(η)=a+b．

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，证明对于任意给定的正数a，b，在(0，1)内至少存在两个不同的点ξ，η，使得 af′(ξ)+bf′(η)=a+b．

admin2021-01-30  23
问题 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，证明对于任意给定的正数a，b，在(0，1)内至少存在两个不同的点ξ，η，使得
             af′(ξ)+bf′(η)=a+b．
选项
答案取[*]显然f(x)在[0，c]和[c，1]上满足拉格朗日中值定理的条件，因此至少存在ξ∈(0，c)，η∈(c，1)，使得 f(c)-f(0)=f′(ξ)c，f(1)一f(c)=f′(η)(1一c)． 整理得 [*] 从而有 af′(ξ)+bf′(η)=a+b．
解析
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考研数学一

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