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设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1,证明对于任意给定的正数a,b,在(0,1)内至少存在两个不同的点ξ,η,使得 af′(ξ)+bf′(η)=a+b.
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1,证明对于任意给定的正数a,b,在(0,1)内至少存在两个不同的点ξ,η,使得 af′(ξ)+bf′(η)=a+b.
admin
2021-01-30
16
问题
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1,证明对于任意给定的正数a,b,在(0,1)内至少存在两个不同的点ξ,η,使得
af′(ξ)+bf′(η)=a+b.
选项
答案
取[*]显然f(x)在[0,c]和[c,1]上满足拉格朗日中值定理的条件,因此至少存在ξ∈(0,c),η∈(c,1),使得 f(c)-f(0)=f′(ξ)c,f(1)一f(c)=f′(η)(1一c). 整理得 [*] 从而有 af′(ξ)+bf′(η)=a+b.
解析
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考研数学一
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