2. 公务员
  3. 如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF＝∠CAB． (1)求证：直线BF是⊙O的切线； (2)若AB＝5，sin∠CBF＝，求BC和BF的长．

如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF＝∠CAB． (1)求证：直线BF是⊙O的切线； (2)若AB＝5，sin∠CBF＝，求BC和BF的长．

admin2015-12-09  32
问题 如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF＝∠CAB．
    (1)求证：直线BF是⊙O的切线；
    (2)若AB＝5，sin∠CBF＝，求BC和BF的长．
选项
答案(1)因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB． 又∠CBF＝[*]∠CAB， 所以∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝2∠CBF＋2∠ABC＝180°， 即∠CBF＋∠ABC＝∠ABF＝90°，所以AB⊥BF． 又因为AB为⊙O的直径，所以直线BF为⊙O的切线． (2)因为sin∠CBF＝[*]，∠CAB＝2∠CBF， 所以sin∠CAB＝sin2∠CBF＝2sin／∠CBFcos∠CBF＝2×[*]， 则COS∠CAB＝[*]． 在△ABC中，根据余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB.AC.cos∠CAB， 又因为AB＝AC＝5，则BC＝2[*]． 又因为tan∠BAF＝[*]，AB＝5， 所以，在Rt△ABF中，BF＝AB．tan∠BAF＝[*]．
解析
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