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如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,点F在AC的延长线上,且∠CBF=∠CAB. (1)求证:直线BF是⊙O的切线; (2)若AB=5,sin∠CBF=,求BC和BF的长.
如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,点F在AC的延长线上,且∠CBF=∠CAB. (1)求证:直线BF是⊙O的切线; (2)若AB=5,sin∠CBF=,求BC和BF的长.
admin
2015-12-09
43
问题
如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,点F在AC的延长线上,且∠CBF=
∠CAB.
(1)求证:直线BF是⊙O的切线;
(2)若AB=5,sin∠CBF=
,求BC和BF的长.
选项
答案
(1)因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB. 又∠CBF=[*]∠CAB, 所以∠BAC+∠ABC+∠ACB=2∠CBF+2∠ABC=180°, 即∠CBF+∠ABC=∠ABF=90°,所以AB⊥BF. 又因为AB为⊙O的直径,所以直线BF为⊙O的切线. (2)因为sin∠CBF=[*],∠CAB=2∠CBF, 所以sin∠CAB=sin2∠CBF=2sin/∠CBFcos∠CBF=2×[*], 则COS∠CAB=[*]. 在△ABC中,根据余弦定理可得BC
2
=AB
2
+AC
2
-2AB.AC.cos∠CAB, 又因为AB=AC=5,则BC=2[*]. 又因为tan∠BAF=[*],AB=5, 所以,在Rt△ABF中,BF=AB.tan∠BAF=[*].
解析
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