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设α1，α2，α3，线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不可由α1，α2，α3线性表示，则对任意常数k必有 ( )
设α1，α2，α3，线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不可由α1，α2，α3线性表示，则对任意常数k必有 ( )
admin
2020-05-06
59
问题
设α
1
，α
2
，α
3
，线性无关，向量β
1
可由α
1
，α
2
，α
3
线性表示，而向量β
2
不可由α
1
，α
2
，α
3
线性表示，则对任意常数k必有 ( )
选项
A、α
1
，α
2
，α
3
，kβ
1
+β
2
线性相关
B、α
1
，α
2
，α
3
，β
1
+kβ
2
线性无关
C、α
1
，α
2
，α
3
，β
1
+kβ
2
线性相关
D、α
1
，α
2
，α
3
，kβ
1
+β
2
线性无关
答案
D
解析
由于β
2
不可由α
1
．α
2
，α
3
线性表示，说明α
1
，α
2
，α
3
．β
2
线性无关．
设k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
+k
4
(kβ
1
+β
2
)=0，由已知可知β
1
=m
1
α
1
+m
2
α
2
+m
3
α
3
代入上式整理得(k
1
+k
4
m
1
k)α
1
+(k
2
+k
4
m
2
k)α
2
+(k
3
+k
4
m
3
k)α
3
+k
4
β
2
=0．
由β
2
不可由α
1
，α
2
，α
3
线性表示得k
1
+k
4
m
1
k=0，k
2
+k
4
m
2
k=0，k
3
+k
4
m
3
k=0，k
4
=0,
显然k
1
=k
2
=k
3
=k
4
=0．故选项D成立，至于B，C选项，当k=0时线性相关，当k≠0时线性无关．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/jKyR777K
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线性代数（经管类）题库公共课分类
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线性代数（经管类）
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