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设α1,α2,α3,线性无关,向量β1可由α1,α2,α3线性表示,而向量β2不可由α1,α2,α3线性表示,则对任意常数k必有 ( )
设α1,α2,α3,线性无关,向量β1可由α1,α2,α3线性表示,而向量β2不可由α1,α2,α3线性表示,则对任意常数k必有 ( )
admin
2020-05-06
30
问题
设α
1
,α
2
,α
3
,线性无关,向量β
1
可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,而向量β
2
不可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,则对任意常数k必有 ( )
选项
A、α
1
,α
2
,α
3
,kβ
1
+β
2
线性相关
B、α
1
,α
2
,α
3
,β
1
+kβ
2
线性无关
C、α
1
,α
2
,α
3
,β
1
+kβ
2
线性相关
D、α
1
,α
2
,α
3
,kβ
1
+β
2
线性无关
答案
D
解析
由于β
2
不可由α
1
.α
2
,α
3
线性表示,说明α
1
,α
2
,α
3
.β
2
线性无关.
设k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
+k
4
(kβ
1
+β
2
)=0,由已知可知β
1
=m
1
α
1
+m
2
α
2
+m
3
α
3
代入上式整理得(k
1
+k
4
m
1
k)α
1
+(k
2
+k
4
m
2
k)α
2
+(k
3
+k
4
m
3
k)α
3
+k
4
β
2
=0.
由β
2
不可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示得k
1
+k
4
m
1
k=0,k
2
+k
4
m
2
k=0,k
3
+k
4
m
3
k=0,k
4
=0,
显然k
1
=k
2
=k
3
=k
4
=0.故选项D成立,至于B,C选项,当k=0时线性相关,当k≠0时线性无关.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/jKyR777K
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线性代数(经管类)题库公共课分类
0
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