2. 自考
  3. 设α1，α2，α3，线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不可由α1，α2，α3线性表示，则对任意常数k必有 ( )

设α1，α2，α3，线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不可由α1，α2，α3线性表示，则对任意常数k必有 ( )

admin2020-05-06  40
问题 设α1，α2，α3，线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不可由α1，α2，α3线性表示，则对任意常数k必有    (    )
选项 A、α1，α2，α3，kβ1+β2线性相关
B、α1，α2，α3，β1+kβ2线性无关
C、α1，α2，α3，β1+kβ2线性相关
D、α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关
答案D
解析 由于β2不可由α1．α2，α3线性表示，说明α1，α2，α3．β2线性无关．
设k1α1+k2α2+k3α3+k4(kβ1+β2)=0，由已知可知β1=m1α1+m2α2+m3α3代入上式整理得(k1+k4m1k)α1+(k2+k4m2k)α2+(k3+k4m3k)α3+k4β2=0．
由β2不可由α1，α2，α3线性表示得k1+k4m1k=0，k2+k4m2k=0，k3+k4m3k=0，k4=0,
显然k1=k2=k3=k4=0．故选项D成立，至于B，C选项，当k=0时线性相关，当k≠0时线性无关．
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