2. 考研
  3. 已知二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χTAχ的矩阵A(aij)满足a11＋a22＋a33＝－6，仙＝C，其中 (Ⅰ)用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换和所得标准形； (Ⅱ)求出该二次型．

已知二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χTAχ的矩阵A(aij)满足a11＋a22＋a33＝－6，仙＝C，其中 (Ⅰ)用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换和所得标准形； (Ⅱ)求出该二次型．

admin2016-03-16  51
问题 已知二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χTAχ的矩阵A(aij)满足a11＋a22＋a33＝－6，仙＝C，其中
    (Ⅰ)用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换和所得标准形；
    (Ⅱ)求出该二次型．
选项
答案(Ⅰ)记α1＝(1，0，－1)T，α2＝(1，2，1)T，则B＝(α1，α2)，C＝(0，－12α2)． 由题设AB＝C知A(α1，α2)＝(0，－12α2)，即Aα1＝0，Aα2＝－12α，所以λ1＝0，λ2＝12是矩阵A的特征值，α1，α2是A的分别属于特征值λ1＝0，λ2＝－12的特征向量． 设λ3是第三个特征值，利用题设λ1＋λ2＋λ3＝a11＋a22＋a33＝－6，所以λ3＝6． 设λ3＝6对应的特征向量为α3＝(χ1，χ2，χ3)T，由于λ3≠λ2，λ3≠λ1，所以α3与α1，α2 均正交，即[*] 解得(χ1，χ2，χ3)T＝t(1，－1，1)T，取α3＝(1，－1，1)T，将α1，α2，α3单位化得3个两两正交的单位向量组 [*] 记U＝(η1，η2，η3)，则U为正交矩阵，且UTAU＝[*] 作正交变换χ＝Uy，即得二次型的标准形为：－12y22＋6y32． (Ⅱ)由(Ⅰ)的(*)推得： [*] 故所求的二次型为： f(χ1，χ2，χ3)＝χTAχ＝－6χ22－12χ1χ2－12χ2χ3．
解析
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考研数学二

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