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已知二次型f(χ1,χ2,χ3)=χTAχ的矩阵A(aij)满足a11+a22+a33=-6,仙=C,其中 (Ⅰ)用正交变换将二次型化为标准形,并写出所用的正交变换和所得标准形; (Ⅱ)求出该二次型.
已知二次型f(χ1,χ2,χ3)=χTAχ的矩阵A(aij)满足a11+a22+a33=-6,仙=C,其中 (Ⅰ)用正交变换将二次型化为标准形,并写出所用的正交变换和所得标准形; (Ⅱ)求出该二次型.
admin
2016-03-16
54
问题
已知二次型f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)=χ
T
Aχ的矩阵A(a
ij
)满足a
11
+a
22
+a
33
=-6,仙=C,其中
(Ⅰ)用正交变换将二次型化为标准形,并写出所用的正交变换和所得标准形;
(Ⅱ)求出该二次型.
选项
答案
(Ⅰ)记α
1
=(1,0,-1)
T
,α
2
=(1,2,1)
T
,则B=(α
1
,α
2
),C=(0,-12α
2
). 由题设AB=C知A(α
1
,α
2
)=(0,-12α
2
),即Aα
1
=0,Aα
2
=-12α,所以λ
1
=0,λ
2
=12是矩阵A的特征值,α
1
,α
2
是A的分别属于特征值λ
1
=0,λ
2
=-12的特征向量. 设λ
3
是第三个特征值,利用题设λ
1
+λ
2
+λ
3
=a
11
+a
22
+a
33
=-6,所以λ
3
=6. 设λ
3
=6对应的特征向量为α
3
=(χ
1
,χ
2
,χ
3
)
T
,由于λ
3
≠λ
2
,λ
3
≠λ
1
,所以α
3
与α
1
,α
2
均正交,即[*] 解得(χ
1
,χ
2
,χ
3
)
T
=t(1,-1,1)
T
,取α
3
=(1,-1,1)
T
,将α
1
,α
2
,α
3
单位化得3个两两正交的单位向量组 [*] 记U=(η
1
,η
2
,η
3
),则U为正交矩阵,且U
T
AU=[*] 作正交变换χ=Uy,即得二次型的标准形为:-12y
2
2
+6y
3
2
. (Ⅱ)由(Ⅰ)的(*)推得: [*] 故所求的二次型为: f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)=χ
T
Aχ=-6χ
2
2
-12χ
1
χ
2
-12χ
2
χ
3
.
解析
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考研数学二
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