试证：当x＞0时，有不等式x＞sinx＞x-。

admin2015-06-14 37

问题试证：当x＞0时，有不等式x＞sinx＞x-

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选项

答案先证x＞sinx(x＞0)。设f(x)=x-sinx，则f’(x)=1-cosx≥0(x＞0)，所以f(x)为单调递增函数，于是对x＞0有f(x)＞f(0)=0，即x-sinx＞0，亦即x＞sinx(x＞0)。再证sinx＞x-[*](x＞0)。令g(x)=sinx-x+[*] 则g’(x)=cosx-1+x，g"(x)=-sinx+1≥0，所以g’(x)单调递增，又g’(0)=0，可知g’(x)＞g’(0)=0(x＞0)，那么有g(x)单调递增。又g(0)=0，可知g(x)＞g(0)=0(x＞0)，[*] 综上可得：当x＞0时，x＞sinx＞x-[*]。

解析可将不等式分成两部分来证，即x＞sinx，sinx＞x-