试证:当x>0时,有不等式x>sinx>x-。

admin2015-06-14  24

问题 试证:当x>0时,有不等式x>sinx>x-

选项

答案先证x>sinx(x>0)。 设f(x)=x-sinx,则f’(x)=1-cosx≥0(x>0), 所以f(x)为单调递增函数,于是对x>0有f(x)>f(0)=0, 即x-sinx>0,亦即x>sinx(x>0)。 再证sinx>x-[*](x>0)。 令g(x)=sinx-x+[*] 则g’(x)=cosx-1+x,g"(x)=-sinx+1≥0, 所以g’(x)单调递增,又g’(0)=0,可知g’(x)>g’(0)=0(x>0),那么有g(x)单调递增。又g(0)=0,可知g(x)>g(0)=0(x>0),[*] 综上可得:当x>0时,x>sinx>x-[*]。

解析 可将不等式分成两部分来证,即x>sinx,sinx>x-,分别设f(x)=x-sinx和g(x)=sinx-x+,然后再分别求导数,利用单调性思想即可证出。
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