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试证：当x＞0时，有不等式x＞sinx＞x-。

admin2015-06-14  28
问题 试证：当x＞0时，有不等式x＞sinx＞x-。
选项
答案先证x＞sinx(x＞0)。 设f(x)=x-sinx，则f’(x)=1-cosx≥0(x＞0)， 所以f(x)为单调递增函数，于是对x＞0有f(x)＞f(0)=0， 即x-sinx＞0，亦即x＞sinx(x＞0)。 再证sinx＞x-[*](x＞0)。 令g(x)=sinx-x+[*] 则g’(x)=cosx-1+x，g"(x)=-sinx+1≥0， 所以g’(x)单调递增，又g’(0)=0，可知g’(x)＞g’(0)=0(x＞0)，那么有g(x)单调递增。又g(0)=0，可知g(x)＞g(0)=0(x＞0)，[*] 综上可得：当x＞0时，x＞sinx＞x-[*]。
解析 可将不等式分成两部分来证，即x＞sinx，sinx＞x-，分别设f(x)=x-sinx和g(x)=sinx-x+，然后再分别求导数，利用单调性思想即可证出。
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