设0＜x1＜1，且xn+1=xn(1-xn)，n=1，2，…，试证nxn=1．

admin2022-10-31 27

问题设0＜x₁＜1，且x_n+1=x_n(1-x_n)，n=1，2，…，试证

nx_n=1．

选项

答案∵0＜x₁＜1，假设0＜x_k＜1，则x_k+1=x_k(1-x_k)＞0，∴{x_n}有下界0．又x_n+1-x_n=-x_n²＜0，∴{x_n}递减．从而[*]x_n存在，不妨设为a．则由x_n+1=x_n(1-x_n)两边取极限得a=a(1-a)，解得a=0即[*]x_n=0．由O．stolz公式知 [*]

解析

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