设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22。

admin2018-02-07 111

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=2(a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃)²+(b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃)²，记

若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²。

选项

答案设A=2αα^T+ββ^T，由于｜α｜=1，α^Tβ=β^Tα=0，则 Aα=(2αα^T+ββ^T)α =2α｜α｜²+ββ^Tα=2α，所以α为矩阵对应特征值λ_i=2的特征向量； Aβ=(2αα^T+ββ^T)β =2αα^Tβ+β｜β｜²=β，所以β为矩阵对应特征值λ₂=1的特征向量。而矩阵A的秩 r(A)=r(2αα^T+ββ^T)≤r(2αα^T)+r(ββ^T)=2，所以λ₃=0也是矩阵的一个特征值。故f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²。

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/jTk4777K

考研数学二

相关试题推荐

若A是n阶实对称矩阵，证明：A2=O与A=O可以相互推出.
验证函数yx＝C1＋C12x是差分方程yx＋2－3yx＋1＋yx＝0的解，并求y。＝1，y1＝3时方程的特解．
求在抛物线y＝x2上横坐标为3的点的切线方程．
设函数f(t)在[0，+∞]上连续，且满足方程试求f(t)．
a为何值时y＝ax2与y＝lnx相切?
设函数y(x)由参数方程确定，求曲线y=y(x)向上凸的x取值.
设曲线y=ax2(a>0，x≥0)与y=1-x2交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线y=ax2围成一平面图形．问a为何值时，该图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最大?最大体积是多少?
设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解．求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A．
设已知线性方程组Ax=6存在2个不同的解。求方程组Ax=b的通解．
二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2的秩为_________．

随机试题

网络消费者的_______差异是网上市场细分的内在依据。【】
本国经济环境、区域经济环境、全球经济环境、_______和国际金融环境共同组成了国际经济环境。
【R1】______Ifwevalueneatness,ourteenagerswillbesloppy.They’llleavetheirroomsdisorderedandtheirclothesdirty.Ifw
某男，在矿山工作8年后，调至某办公室工作，3年后发生尘肺，该病人的职业病诊断治疗费用承担者应是
结石长期存在，可引起的尿路恶性肿瘤为
主要用于热水供应及高压蒸汽管路的阀门为()。
以下选项中，属于商标资产的价值特征的有()。
关于金融市场功能的说法中，错误的是()。
我国第一所乡村幼稚园的创办人是()。
设X1，…，X9为来自正态总体X～N(μ，σ2)的简单随机样本，令Y1=(X1+…+X6)，Y2=(X7+X8+X9)，S2=证明：Z～t(2)．

最新回复(0)

设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22。

考研数学二

若A是n阶实对称矩阵，证明：A2=O与A=O可以相互推出.

验证函数yx＝C1＋C12x是差分方程yx＋2－3yx＋1＋yx＝0的解，并求y。＝1，y1＝3时方程的特解．

求在抛物线y＝x2上横坐标为3的点的切线方程．

设函数f(t)在[0，+∞]上连续，且满足方程试求f(t)．

a为何值时y＝ax2与y＝lnx相切?

设函数y(x)由参数方程确定，求曲线y=y(x)向上凸的x取值.

设曲线y=ax2(a>0，x≥0)与y=1-x2交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线y=ax2围成一平面图形．问a为何值时，该图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最大?最大体积是多少?

设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解．求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A．

设已知线性方程组Ax=6存在2个不同的解。求方程组Ax=b的通解．

二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2的秩为_________．

网络消费者的_______差异是网上市场细分的内在依据。【】

本国经济环境、区域经济环境、全球经济环境、_______和国际金融环境共同组成了国际经济环境。

【R1】______Ifwevalueneatness,ourteenagerswillbesloppy.They’llleavetheirroomsdisorderedandtheirclothesdirty.Ifw

某男，在矿山工作8年后，调至某办公室工作，3年后发生尘肺，该病人的职业病诊断治疗费用承担者应是

结石长期存在，可引起的尿路恶性肿瘤为

主要用于热水供应及高压蒸汽管路的阀门为()。

以下选项中，属于商标资产的价值特征的有()。

关于金融市场功能的说法中，错误的是()。

我国第一所乡村幼稚园的创办人是()。

设X1，…，X9为来自正态总体X～N(μ，σ2)的简单随机样本，令Y1=(X1+…+X6)，Y2=(X7+X8+X9)，S2=证明：Z～t(2)．

设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22。