设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22。

admin2018-02-07 75

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=2(a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃)²+(b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃)²，记

若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²。

选项

答案设A=2αα^T+ββ^T，由于｜α｜=1，α^Tβ=β^Tα=0，则 Aα=(2αα^T+ββ^T)α =2α｜α｜²+ββ^Tα=2α，所以α为矩阵对应特征值λ_i=2的特征向量； Aβ=(2αα^T+ββ^T)β =2αα^Tβ+β｜β｜²=β，所以β为矩阵对应特征值λ₂=1的特征向量。而矩阵A的秩 r(A)=r(2αα^T+ββ^T)≤r(2αα^T)+r(ββ^T)=2，所以λ₃=0也是矩阵的一个特征值。故f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²。

解析

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考研数学二

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函数yx＝A2x＋8是下面某一差分方程的通解，这个方程是[]．
设,问a，b为何值时，函数F(x)＝f(x)＋g(x)在﹙﹣∞，﹢∞﹚上连续。
验证函数yx＝C1＋C12x是差分方程yx＋2－3yx＋1＋yx＝0的解，并求y。＝1，y1＝3时方程的特解．
求在抛物线y＝x2上横坐标为3的点的切线方程．
已知f(x)是微分方程=_______.
设函数f(x)在(-∞，+∞)上有定义，在区间[0，2]上，f(x)=x(x2-4)，若对任意的x都满足f(x)=kf(x+2)，其中k为常数．问k为何值时，f(x)在x=0处可导．
已知，二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2．求正交变换x=Qy将f化为标准形．
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