求解微分方程：(x一2y)dy—dx=0．

admin2019-01-09 53

问题求解微分方程：(x一2y)dy—dx=0．

选项

答案原方程变形为 [*]—x=一2y． (1) 如果将y看做自变量，x看做y的未知函数，则这是一个一阶线性微分方程，既可用通解公式求解，也可以用推出通解公式的常数变易法求解．这里我们用常数变易法解之．由 [*]—x=0分离变量得 [*] 积分得 lnx=y+lnC，从而得齐次方程的通解为 x=Ce^y 令原方程的通解为x=u(y)e^y，则 [*]=u′(y)e^y+u(y)e^y，代入方程(1)得 u′(y)e^y+ u(y)e^y—u(y)e^y=一2y，从而u′(y)=一2ye^y，故u(y)=一2∫ye^-ydy=2(y+1)e^-y+C，因此原方程的通解为 x=2(y+1)+Ce^y．

解析

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