假设随机变量X与Y相互独立，如果X服从标准正态分布，Y的概率分布为P{Y=一1}=，求： Z=XY的概率密度fZ(z)；

admin2017-10-25 41

问题假设随机变量X与Y相互独立，如果X服从标准正态分布，Y的概率分布为P{Y=一1}=

，求：
Z=XY的概率密度f_Z(z)；

选项

答案依题意P{Y=一1}=[*]，X～N(0，1)且X与Y相互独立，于是Z=XY的分布函数为 F_Z(z)=P{XY≤z}=P{Y=一1}P{XY≤z｜Y=一1}+P{Y=1}P{XY≤z｜Y=1} =P{Y=一1}P{一X≤z｜Y=一1}+P{Y=1}P{X≤z｜Y=1} =P{Y=一1}P{X≥一z}+P{Y=1}P{X≤z} [*] 即Z=XY服从标准正态分布，其概率密度为 f_Z(z)=φ(z)=[*]．

解析由于Y为离散型随机变量，X与Y独立，因此应用全概率公式可得分布函数，进而求得概率密度．

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