证明不等式，其中(0＜a＜b)．

admin2016-03-02 55

问题证明不等式

，其中(0＜a＜b)．

选项

答案(拉格朗日中值定理)令函数f(x)=lnx，x∈[a，b]，f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，由拉格朗日中值定理可知，至少存在一点ξ∈(a，b)，使得 f(b)一f(a)=f′(ξ)(b一a)，即lnb—lna=[*](b一a) 所以[*]，由于0＜a＜ξ＜b，故[*]，又因为a²+b²＞2ab，所以[*]＞[*] 则f′(x)=2x(lnx一lna)＋[*]—2a=2x(lnx－lna)＋[*] 因为x＞a＞0，所以f′(x)＞0，故函数f(x)在[a，+∞)上为增函数所以f(b)＞f(a)=0，即(b²+a²)(lnb—lna)一2a(b一a)>0 因此[*]

解析

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