2. 考研
  3. 设α1 ，α2 ，α3 ，α4为四维非零列向量，A=[α1 ，α2 ，α3 ，α4]，A*为A的伴随矩阵，又知方程组AX=0的基础解系为[1，0，2，0]T ，则方程组A*X=0的基础解系为( )．

设α1 ，α2 ，α3 ，α4为四维非零列向量，A=[α1 ，α2 ，α3 ，α4]，A*为A的伴随矩阵，又知方程组AX=0的基础解系为[1，0，2，0]T ，则方程组A*X=0的基础解系为( )．

admin2016-12-16  91
问题 设α1 ，α2 ，α3 ，α4为四维非零列向量，A=[α1 ，α2 ，α3 ，α4]，A*为A的伴随矩阵，又知方程组AX=0的基础解系为[1，0，2，0]T ，则方程组A*X=0的基础解系为(     )．
选项 A、α1 ，α2 ，α3
B、α1+α2 ，α2+α3 ，α3+α1
C、α2 ，α3 ，α4
D、α1+α2 ，α2+α3α3+α4 ，α4+α1
答案C
解析 由AX=0的基础解系所含解向量个数为1知，
n一r(A)=4一r(A)=1，故r(A)=3．
因而可确定r(A*)=1，于是A*X=0的一个基础解系含3个解向量．
由AX=0的基础解系仅含有一个解向量知，r(A)=3，从而r(A*)=1，于是方程组
A*X=0的基础解系中仅含3个解向量．
又    A*A=A*[α1 ，α2 ，α3 ，α4]=|A|E=0，
所以向量α1 ，α2 ，α3 ，α4是方程组A*X=0的解，因为[1，0，2，0]T是AX=0的解，故有α1+2α3
=0，即α1 ，α3线性相关，从而向量组α1 ，α2 ，α3和向量组α1 ，α2 ，α3 ，α4均线性相关，故排除(A)、(B)、(D)．又因r(A)=r(α1 ，α2 ，α3 ，α4)=3，故α2 ，α3 ，α4线性无关、仅(C)入选，
由解一知，α1 ，α2 ，α3 ，α4均为A*X=0的解向量，且其基础解系只含3个解向量．
由α1+2α3=0得
α1=0α2一2α3+0α4 ，
即α1可由α2 ，α3 ，α4线性表示，又
r(α1 ，α2 ，α3 ，α4)=3，
所以α2 ，α3 ，α4线性无关，即α2 ，α3 ，α4为A*X=0的一个基础解系，仅(C)入选．
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考研数学三

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