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设α1 ,α2 ,α3 ,α4为四维非零列向量,A=[α1 ,α2 ,α3 ,α4],A*为A的伴随矩阵,又知方程组AX=0的基础解系为[1,0,2,0]T ,则方程组A*X=0的基础解系为( ).
设α1 ,α2 ,α3 ,α4为四维非零列向量,A=[α1 ,α2 ,α3 ,α4],A*为A的伴随矩阵,又知方程组AX=0的基础解系为[1,0,2,0]T ,则方程组A*X=0的基础解系为( ).
admin
2016-12-16
102
问题
设α
1
,α
2
,α
3
,α
4
为四维非零列向量,A=[α
1
,α
2
,α
3
,α
4
],A
*
为A的伴随矩阵,又知方程组AX=0的基础解系为[1,0,2,0]
T
,则方程组A
*
X=0的基础解系为( ).
选项
A、α
1
,α
2
,α
3
B、α
1
+α
2
,α
2
+α
3
,α
3
+α
1
C、α
2
,α
3
,α
4
D、α
1
+α
2
,α
2
+α
3
α
3
+α
4
,α
4
+α
1
答案
C
解析
由AX=0的基础解系所含解向量个数为1知,
n一r(A)=4一r(A)=1,故r(A)=3.
因而可确定r(A
*
)=1,于是A
*
X=0的一个基础解系含3个解向量.
由AX=0的基础解系仅含有一个解向量知,r(A)=3,从而r(A
*
)=1,于是方程组
A
*
X=0的基础解系中仅含3个解向量.
又 A
*
A=A
*
[α
1
,α
2
,α
3
,α
4
]=|A|E=0,
所以向量α
1
,α
2
,α
3
,α
4
是方程组A
*
X=0的解,因为[1,0,2,0]
T
是AX=0的解,故有α
1
+2α
3
=0,即α
1
,α
3
线性相关,从而向量组α
1
,α
2
,α
3
和向量组α
1
,α
2
,α
3
,α
4
均线性相关,故排除(A)、(B)、(D).又因r(A)=r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)=3,故α
2
,α
3
,α
4
线性无关、仅(C)入选,
由解一知,α
1
,α
2
,α
3
,α
4
均为A
*
X=0的解向量,且其基础解系只含3个解向量.
由α
1
+2α
3
=0得
α
1
=0α
2
一2α
3
+0α
4
,
即α
1
可由α
2
,α
3
,α
4
线性表示,又
r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)=3,
所以α
2
,α
3
,α
4
线性无关,即α
2
,α
3
,α
4
为A
*
X=0的一个基础解系,仅(C)入选.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/jnH4777K
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考研数学三
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