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求微分方程y"+y’-2y=xex+sin2x的通解。
求微分方程y"+y’-2y=xex+sin2x的通解。
admin
2021-01-28
65
问题
求微分方程y"+y’-2y=xe
x
+sin
2
x的通解。
选项
答案
特征方程为λ
2
+λ-2=0, 特征值为λ
1
=-2,λ
2
=1,y"+y’-2y=0的通解为y=C
1
e
-2x
+C
2
e
x
, 设y"+y’-2y=xe
x
(*) y"+y’-2y=sin
2
x(**) 令(*)的特解为y
1
(x)=(ax
2
+bx)e
x
,代入(*)得a=1/6,b=-1/9, 由y"+y’-2y=sin
2
x得y"+y’-2y=(1/2)(1一cos2x), 显然y"+y’-2y=1/2有特解y=-1/4, 对y"+y’-2y=-(1/2)cos2X,令其特解为y=Acos2x+Bsin2x,代人得A=3/40,B=-1/40, 则y
1
(x)=-(1/4)+(3/40)cos2x-(1/40)sin2x,所以原方程的通解为 y=C
1
e
-2x
+C
2
e
x
+(x
2
/6-x/9)e
x
-1/40+(3/40)cos2x-(1/40)sin2x。
解析
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考研数学三
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