2. 考研
  3. 设A为三阶矩阵，α1,α2,α3是三维线性无关的向量组，且Aα1＝α1＋3α2，Aα＝5α1－α2，Aα3＝α1－α2＋4α3． (Ⅰ)求矩阵A的特征值； (Ⅱ)求可逆矩阵Q，使得Q﹣1AQ为对角矩阵.

设A为三阶矩阵，α1,α2,α3是三维线性无关的向量组，且Aα1＝α1＋3α2，Aα＝5α1－α2，Aα3＝α1－α2＋4α3． (Ⅰ)求矩阵A的特征值； (Ⅱ)求可逆矩阵Q，使得Q﹣1AQ为对角矩阵.

admin2019-06-06  43
问题 设A为三阶矩阵，α1,α2,α3是三维线性无关的向量组，且Aα1＝α1＋3α2，Aα＝5α1－α2，Aα3＝α1－α2＋4α3．
(Ⅰ)求矩阵A的特征值；
(Ⅱ)求可逆矩阵Q，使得Q﹣1AQ为对角矩阵.
选项
答案(Ⅰ)令P＝(α1，α2，α3)，因为α1，α2，α3线性无关，所以P可逆．因为Aα1＝α1＋3α2，Aα2＝5α1－α2，Aα3＝α1－α2＋4α3，所以(Aα1，Aα2，Aα3)＝(α1＋3α2，5α1－α2，α1－α2＋4α3)， [*] 得A的特征值为λ1＝﹣4，λ2＝λ3＝4． (Ⅱ)因为A～B，所以B的特征值为λ1＝﹣4，λ2＝λ3＝4．当λ1＝﹣4时，由(﹣4E－B)X＝0得ξ1＝[*]当λ2＝λ3＝4时，由(4E－B)X＝0得[*]令P1＝(ξ1，ξ2，ξ3)＝[*]则P1﹣1BP1＝[*]因为P﹣1AP＝B，所以P1﹣1P﹣1APP1＝P1﹣1BP1＝[*]或(PP1)﹣1A(PP1)＝[*]取Q＝PP1＝(﹣α1+α2，5α1+3α2，α1+3α3)，则Q﹣1AQ＝[*]
解析
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考研数学三

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