设A为三阶矩阵,α1,α2,α3是三维线性无关的向量组,且Aα1=α1+3α2,Aα=5α1-α2,Aα3=α1-α2+4α3. (Ⅰ)求矩阵A的特征值; (Ⅱ)求可逆矩阵Q,使得Q﹣1AQ为对角矩阵.

admin2019-06-06  29

问题 设A为三阶矩阵,α123是三维线性无关的向量组,且Aα1=α1+3α2,Aα=5α1-α2,Aα3=α1-α2+4α3
(Ⅰ)求矩阵A的特征值;
(Ⅱ)求可逆矩阵Q,使得Q﹣1AQ为对角矩阵.

选项

答案(Ⅰ)令P=(α1,α2,α3),因为α1,α2,α3线性无关,所以P可逆.因为Aα1=α1+3α2,Aα2=5α1-α2,Aα3=α1-α2+4α3,所以(Aα1,Aα2,Aα3)=(α1+3α2,5α1-α2,α1-α2+4α3), [*] 得A的特征值为λ1=﹣4,λ2=λ3=4. (Ⅱ)因为A~B,所以B的特征值为λ1=﹣4,λ2=λ3=4.当λ1=﹣4时,由(﹣4E-B)X=0得ξ1=[*]当λ2=λ3=4时,由(4E-B)X=0得[*]令P1=(ξ1,ξ2,ξ3)=[*]则P1﹣1BP1=[*]因为P﹣1AP=B,所以P1﹣1P﹣1APP1=P1﹣1BP1=[*]或(PP1)﹣1A(PP1)=[*]取Q=PP1=(﹣α12,5α1+3α2,α1+3α3),则Q﹣1AQ=[*]

解析
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