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设A为三阶矩阵,α1,α2,α3是三维线性无关的向量组,且Aα1=α1+3α2,Aα=5α1-α2,Aα3=α1-α2+4α3. (Ⅰ)求矩阵A的特征值; (Ⅱ)求可逆矩阵Q,使得Q﹣1AQ为对角矩阵.
设A为三阶矩阵,α1,α2,α3是三维线性无关的向量组,且Aα1=α1+3α2,Aα=5α1-α2,Aα3=α1-α2+4α3. (Ⅰ)求矩阵A的特征值; (Ⅱ)求可逆矩阵Q,使得Q﹣1AQ为对角矩阵.
admin
2019-06-06
74
问题
设A为三阶矩阵,α
1
,α
2
,α
3
是三维线性无关的向量组,且Aα
1
=α
1
+3α
2
,Aα=5α
1
-α
2
,Aα
3
=α
1
-α
2
+4α
3
.
(Ⅰ)求矩阵A的特征值;
(Ⅱ)求可逆矩阵Q,使得Q
﹣1
AQ为对角矩阵.
选项
答案
(Ⅰ)令P=(α
1
,α
2
,α
3
),因为α
1
,α
2
,α
3
线性无关,所以P可逆.因为Aα
1
=α
1
+3α
2
,Aα
2
=5α
1
-α
2
,Aα
3
=α
1
-α
2
+4α
3
,所以(Aα
1
,Aα
2
,Aα
3
)=(α
1
+3α
2
,5α
1
-α
2
,α
1
-α
2
+4α
3
), [*] 得A的特征值为λ
1
=﹣4,λ
2
=λ
3
=4. (Ⅱ)因为A~B,所以B的特征值为λ
1
=﹣4,λ
2
=λ
3
=4.当λ
1
=﹣4时,由(﹣4E-B)X=0得ξ
1
=[*]当λ
2
=λ
3
=4时,由(4E-B)X=0得[*]令P
1
=(ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
)=[*]则P
1
﹣1
BP
1
=[*]因为P
﹣1
AP=B,所以P
1
﹣1
P
﹣1
APP
1
=P
1
﹣1
BP
1
=[*]或(PP
1
)
﹣1
A(PP
1
)=[*]取Q=PP
1
=(﹣α
1
+α
2
,5α
1
+3α
2
,α
1
+3α
3
),则Q
﹣1
AQ=[*]
解析
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考研数学三
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