设f(x)∈c[a,b]且f(x)为单调增函数,若f(a)<0,∫abf(x)dx>0,证明: (Ⅰ)存在ξ∈(a,b),使得∫aξf(x)dx=0; (Ⅱ)存在η∈(a,b),使得∫aηf(x)dx=f(η).

admin2017-02-28  25

问题 设f(x)∈c[a,b]且f(x)为单调增函数,若f(a)<0,∫abf(x)dx>0,证明:
(Ⅰ)存在ξ∈(a,b),使得∫aξf(x)dx=0;
(Ⅱ)存在η∈(a,b),使得∫aηf(x)dx=f(η).

选项

答案(Ⅰ)由积分中值定理,∫abf(x)dx=f(c)(b一a)>0,其中c∈[a,b], 显然f(c)>0且c∈(a,b]. 因为f(a)f(c)<0,所以由零点定理,存在x0∈(a,c),使得f(x0)=0. 再由f(x)单调增加得,当x∈[a,x0)时,f(x)<0;当x∈(x0,b]时,f(x)>0. 令F(x)=∫axf(t)dt,显然F(x0)<0,F(b)>0,由零点定理,存在ξ∈(a,b),使得F(ξ)=0,即∫aξf(x)dx=0. (Ⅱ)令φ(x)=exaxf(t)dt,φ(a)=φ(ξ)=0, 由罗尔定理,存在η∈(a,ξ)[*](a,b),使得φ’(η)=0, 而φ’(x)=e—x[f(x)一∫axf(t)dt]且e—x≠0,故∫aηf(x)dx=f(η).

解析
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