[2013年] 设二次型 f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a33x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．

admin2021-01-19 55

问题 [2013年] 设二次型
f(x₁，x₂，x₃)=2(a₁x₁+a₂x₂+a₃3x₃)²+(b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃)²，
记

若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²．

选项

答案因α，β为单位向量且相互正交，有 β^Tα=α^Tβ=0，∣∣α∣∣=[*]=1，∣∣β∣∣=[*]=1，故α^Tα=1，，β^Tβ=1，因而 Aα=(2αα^T+ββ^T)α=2α(α^Tα)+β(β^Tα)=2α∣∣α∣∣+β(β^Tα)=2α·1+β·0=2α 即α为A的属于特征值λ₁=2的特征向量． Aβ=(2αα^T+ββ^T)β=2α(α^Tβ)+β(β^Tβ)=2α·0+β·1=β，即β为A的属于特征值λ₂=1的特征向量．又秩(A)=秩(2αα^T+ββ^T)≤秩(2αα^T)+秩(ββ^T)≤秩(α)+秩(β)=1+1=2＜3，则A的第三个特征值为λ₃=0．故f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²．

解析

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考研数学二

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[2013年] 设二次型 f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a33x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．

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设α1=(1，2，1)T，α2=(2，3，a)T，α3=(1，a+2，一2)T，若β1=(1，3，4)T可以由α1,α2,α3线性表示，但是β2=(0，1，2)T不可以由α1,α2,α3线性表示，则a=__________.

与α1=(1，-1，0，2)T，α2=(2，3，1，1)T，α3=(0，0，1，2)T都正交的单位向量是_______．

设三阶矩阵A，B满足关系A-1BA=6A+BA，且A=，则B=_________

已知矩阵有两个线性无关的特征向量，则a=______。

二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=2x22+2x32+4x1x2+8x2x3—4x1x3的规范形是__________。

设A=，A为A的伴随矩阵，则(A)－1=_________。

没A为n阶矩阵，λ1和λ2是A的两个不同的特征值，ξ1，ξ2分别是A的对应于λ1，λ2的特征向量，证明ξ1+ξ2不是A的特征向量．

圈闭实际容量的大小主要由圈闭的最大()来度量。

在中国国家机关体系中，居于首要地位的是()

解除免疫耐受的方法是

A．双缩脲反应B．Vitali反应C．绿奎宁反应D．甲醛硫酸反应E．NO3-的反应含氧喹啉衍生物的特征反应

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甲公司于3月5日向乙企业发出签订合同要约的信函。3月8日乙企业收到甲公司声明该要约作废的传真。3月10日乙企业收到该要约的信函。根据合同法规定，甲公司发出传真声明要约作废的行为是()。

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