[2013年] 设二次型 f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a33x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．

admin2021-01-19 46

问题 [2013年] 设二次型
f(x₁，x₂，x₃)=2(a₁x₁+a₂x₂+a₃3x₃)²+(b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃)²，
记

若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²．

选项

答案因α，β为单位向量且相互正交，有 β^Tα=α^Tβ=0，∣∣α∣∣=[*]=1，∣∣β∣∣=[*]=1，故α^Tα=1，，β^Tβ=1，因而 Aα=(2αα^T+ββ^T)α=2α(α^Tα)+β(β^Tα)=2α∣∣α∣∣+β(β^Tα)=2α·1+β·0=2α 即α为A的属于特征值λ₁=2的特征向量． Aβ=(2αα^T+ββ^T)β=2α(α^Tβ)+β(β^Tβ)=2α·0+β·1=β，即β为A的属于特征值λ₂=1的特征向量．又秩(A)=秩(2αα^T+ββ^T)≤秩(2αα^T)+秩(ββ^T)≤秩(α)+秩(β)=1+1=2＜3，则A的第三个特征值为λ₃=0．故f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²．

解析

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考研数学二

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[2013年] 设二次型 f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a33x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．

考研数学二

设B≠O为三阶矩阵，且矩阵B的每个列向量为方程组的解，则k＝_，｜B｜＝_．

与α1=(1，-1，0，2)T，α2=(2，3，1，1)T，α3=(0，0，1，2)T都正交的单位向量是_______．

设三阶矩阵A，B满足关系A-1BA=6A+BA，且A=，则B=_________

二次型f(x1，x2，x3)=(a1x1+a2x2+a3x3)2的矩阵是______．

三阶常系数线性齐次微分方程y’’’一2y’’+y’一2y=0的通解为y=___________．

若向量组α1=(1，一1，2，4)T，α2=(0，3，1，2)T，α4=(3，0，7，a)T，α4=(1，一2，2，0)T线性无关，则未知数a的取值范围是__________.

设α1=(1，2，1)T，α2=(2，3，a)T，α3=(1，a+2，一2)T，若β1=(1，3，4)T可以由α1,α2,α3线性表示，但是β2=(0，1，2)T不可以由α1,α2,α3线性表示，则a=___________。

证明极限不存在．

没A为n阶矩阵，λ1和λ2是A的两个不同的特征值，ξ1，ξ2分别是A的对应于λ1，λ2的特征向量，证明ξ1+ξ2不是A的特征向量．

设e＜a＜6，证明a2＜＜b2。

急性梗阻性化脓性胆管炎患者的检查不适用

患者．女性，60岁。输血15分钟后感觉头胀，四肢麻木，腰背部剧痛，脉细弱，血压下降。病区护士为患者立即采取针对性的护理措施，但应除外

常物性流体管内受迫流动，沿管长流体的平均温度，在常热流边界条件下呈()变化，在常壁温边界条件下呈()规律变化。

地下水按其成因与埋藏条件，可以分成上层滞水、潜水、承压水三类。具有城市用水意义的地下水，主要是(　　　)。

担保是为了使债权人的债权得以实现，通过法定或者约定的方式，用特定人的(　　　)或财产，保障债务人履行债务的法律制度。

预期将发生通货膨胀或提高利率时市盈率会普遍下降,预期公司利润增长时市盈率会上升,债务比重大的公司市盈率较低。()

《明史》：“若亭疑献决，而囚有番异，则改调隔别街门问拟。二次番异不服，则具奏，会九卿鞠之，谓之圆审。至三四讯不服，而后请旨决焉。”结合以上材料，请回答下列问题：该制度反映的是哪种统治思想?

论述当代中国社会主义法治在社会治理中的作用。

[2013年] 设二次型 f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a33x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2， 记 若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．

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设B≠O为三阶矩阵，且矩阵B的每个列向量为方程组的解，则k＝_______，｜B｜＝_______．

与α1=(1，-1，0，2)T，α2=(2，3，1，1)T，α3=(0，0，1，2)T都正交的单位向量是_______．

设三阶矩阵A，B满足关系A-1BA=6A+BA，且A=，则B=_________

二次型f(x1，x2，x3)=(a1x1+a2x2+a3x3)2的矩阵是______．

三阶常系数线性齐次微分方程y’’’一2y’’+y’一2y=0的通解为y=___________．

若向量组α1=(1，一1，2，4)T，α2=(0，3，1，2)T，α4=(3，0，7，a)T，α4=(1，一2，2，0)T线性无关，则未知数a的取值范围是__________.

设α1=(1，2，1)T，α2=(2，3，a)T，α3=(1，a+2，一2)T，若β1=(1，3，4)T可以由α1,α2,α3线性表示，但是β2=(0，1，2)T不可以由α1,α2,α3线性表示，则a=___________。

证明极限不存在．

没A为n阶矩阵，λ1和λ2是A的两个不同的特征值，ξ1，ξ2分别是A的对应于λ1，λ2的特征向量，证明ξ1+ξ2不是A的特征向量．

设e＜a＜6，证明a2＜＜b2。

急性梗阻性化脓性胆管炎患者的检查不适用

患者．女性，60岁。输血15分钟后感觉头胀，四肢麻木，腰背部剧痛，脉细弱，血压下降。病区护士为患者立即采取针对性的护理措施，但应除外

常物性流体管内受迫流动，沿管长流体的平均温度，在常热流边界条件下呈()变化，在常壁温边界条件下呈()规律变化。

地下水按其成因与埋藏条件，可以分成上层滞水、潜水、承压水三类。具有城市用水意义的地下水，主要是( )。

担保是为了使债权人的债权得以实现，通过法定或者约定的方式，用特定人的( )或财产，保障债务人履行债务的法律制度。

预期将发生通货膨胀或提高利率时市盈率会普遍下降,预期公司利润增长时市盈率会上升,债务比重大的公司市盈率较低。()

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担保是为了使债权人的债权得以实现，通过法定或者约定的方式，用特定人的(　　　)或财产，保障债务人履行债务的法律制度。