[2013年] 设二次型 f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a33x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．

admin2021-01-19 94

问题 [2013年] 设二次型
f(x₁，x₂，x₃)=2(a₁x₁+a₂x₂+a₃3x₃)²+(b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃)²，
记

若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²．

选项

答案因α，β为单位向量且相互正交，有 β^Tα=α^Tβ=0，∣∣α∣∣=[*]=1，∣∣β∣∣=[*]=1，故α^Tα=1，，β^Tβ=1，因而 Aα=(2αα^T+ββ^T)α=2α(α^Tα)+β(β^Tα)=2α∣∣α∣∣+β(β^Tα)=2α·1+β·0=2α 即α为A的属于特征值λ₁=2的特征向量． Aβ=(2αα^T+ββ^T)β=2α(α^Tβ)+β(β^Tβ)=2α·0+β·1=β，即β为A的属于特征值λ₂=1的特征向量．又秩(A)=秩(2αα^T+ββ^T)≤秩(2αα^T)+秩(ββ^T)≤秩(α)+秩(β)=1+1=2＜3，则A的第三个特征值为λ₃=0．故f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²．

解析

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考研数学二

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[2013年] 设二次型 f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a33x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．

考研数学二

设三阶矩阵A，B满足关系A-1BA=6A+BA，且A=，则B=_________

已知矩阵有两个线性无关的特征向量，则a=______。

二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=2x22+2x32+4x1x2+8x2x3—4x1x3的规范形是__________。

若α1，α2，α3是三维线性无关的列向量，A是三阶方阵，且Aα1＝α1＋α2，Aα2＝α2＋α3，Aα3＝α3＋α1，则｜A｜＝_______．

设A=，A为A的伴随矩阵，则(A)－1=_________。

若向量组α1=(1，一1，2，4)T，α2=(0，3，1，2)T，α4=(3，0，7，a)T，α4=(1，一2，2，0)T线性无关，则未知数a的取值范围是__________.

设A=有三个线性无关的特征向量，则a=_________．

没A为n阶矩阵，λ1和λ2是A的两个不同的特征值，ξ1，ξ2分别是A的对应于λ1，λ2的特征向量，证明ξ1+ξ2不是A的特征向量．

设向量组α1，α2，α3线性相关，而α2，α3，α4线性无关，问：(1)α1能否用α2，α3线性表示?并证明之；(2)α4能否用α1，α2，α3线性表示?并证明之．

舒张早期奔马律与生理性第三心音的区别不包括

既能祛风湿，又能退虚热的药物是

患者，男性，68岁，左股外侧疖肿2天，医嘱局部热敷。有关用氧注意事项错误的是()。

适用于融资租赁交易的融资物包括()。

【2014年山东省属.单选】教学是教儿童，不是单纯教教材，要展开真正的学习，儿童必须参与教学过程。有意义的学习只有在教材同学生自身的目的发生关系，由学生去认知时.才能产生。持这一主张的是()。

我国对个体农业实行社会主义改造所遵循的原则是()。

有以下程序(字母A的ASCII码值是65)：#include＜stdio．h＞voidfun(chars){while(s){if(s％2)printf(＂％c＂，s)；s++：}}main(){chara[]=＂BYTE

Thecommandersaidtohistroopsthatundernocircumstances______tostepacrosstheborder.

[2013年] 设二次型 f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a33x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2， 记 若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．

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设三阶矩阵A，B满足关系A-1BA=6A+BA，且A=，则B=_________

已知矩阵有两个线性无关的特征向量，则a=______。

二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=2x22+2x32+4x1x2+8x2x3—4x1x3的规范形是__________。

若α1，α2，α3是三维线性无关的列向量，A是三阶方阵，且Aα1＝α1＋α2，Aα2＝α2＋α3，Aα3＝α3＋α1，则｜A｜＝_______．

设A=，A*为A的伴随矩阵，则(A*)－1=_________。

若向量组α1=(1，一1，2，4)T，α2=(0，3，1，2)T，α4=(3，0，7，a)T，α4=(1，一2，2，0)T线性无关，则未知数a的取值范围是__________.

设A=有三个线性无关的特征向量，则a=_________．

没A为n阶矩阵，λ1和λ2是A的两个不同的特征值，ξ1，ξ2分别是A的对应于λ1，λ2的特征向量，证明ξ1+ξ2不是A的特征向量．

设向量组α1，α2，α3线性相关，而α2，α3，α4线性无关，问：(1)α1能否用α2，α3线性表示?并证明之；(2)α4能否用α1，α2，α3线性表示?并证明之．

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有以下程序(字母A的ASCII码值是65)：#include＜stdio．h＞voidfun(char*s){while(*s){if(*s％2)printf(＂％c＂，*s)；s++：}}main(){chara[]=＂BYTE

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有以下程序(字母A的ASCII码值是65)：#include＜stdio．h＞voidfun(chars){while(s){if(s％2)printf(＂％c＂，s)；s++：}}main(){chara[]=＂BYTE