[2013年] 设二次型 f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a33x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．

admin2021-01-19 91

问题 [2013年] 设二次型
f(x₁，x₂，x₃)=2(a₁x₁+a₂x₂+a₃3x₃)²+(b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃)²，
记

若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²．

选项

答案因α，β为单位向量且相互正交，有 β^Tα=α^Tβ=0，∣∣α∣∣=[*]=1，∣∣β∣∣=[*]=1，故α^Tα=1，，β^Tβ=1，因而 Aα=(2αα^T+ββ^T)α=2α(α^Tα)+β(β^Tα)=2α∣∣α∣∣+β(β^Tα)=2α·1+β·0=2α 即α为A的属于特征值λ₁=2的特征向量． Aβ=(2αα^T+ββ^T)β=2α(α^Tβ)+β(β^Tβ)=2α·0+β·1=β，即β为A的属于特征值λ₂=1的特征向量．又秩(A)=秩(2αα^T+ββ^T)≤秩(2αα^T)+秩(ββ^T)≤秩(α)+秩(β)=1+1=2＜3，则A的第三个特征值为λ₃=0．故f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²．

解析

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考研数学二

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[2013年] 设二次型 f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a33x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．

考研数学二

与α1=(1，-1，0，2)T，α2=(2，3，1，1)T，α3=(0，0，1，2)T都正交的单位向量是_______．

设三阶矩阵A，B满足关系A-1BA=6A+BA，且A=，则B=_________

二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=2x22+2x32+4x1x2+8x2x3—4x1x3的规范形是__________。

已知矩阵X满足AX=A一1+2X，其中A是A的伴随矩阵，则X=_________．

若向量组α1=(1，一1，2，4)T，α2=(0，3，1，2)T，α4=(3，0，7，a)T，α4=(1，一2，2，0)T线性无关，则未知数a的取值范围是__________.

设α1=(1，2，1)T，α2=(2，3，a)T，α3=(1，a+2，一2)T，若β1=(1，3，4)T可以由α1,α2,α3线性表示，但是β2=(0，1，2)T不可以由α1,α2,α3线性表示，则a=___________。

证明极限不存在．

设α1，…，αn为n个m维向量，且m＜n．证明：α1，…，αn线性相关．

设A是n阶矩阵，α1，α2，…，αn是n维列向量，且αn≠0，若Aα1=α2，Aα2=α3，…，Aαn-1=αn，Aαn=0．(1)证明：α1，α2，…，αn线性无关；(2)求A的特征值与特征向量．

简述价值规律在私有制商品经济中的作用。

Becarefulofthosewhousethetruthtodeceivepeople.Whensomeonetellsyousomethingthatistrue,butleavesoutimportant

胃术后近端空肠段逆流胃术后低血糖综合征

凡能随时出售而换回现金的金融工具，一般称之为流动性强。()

裙式支座的结构特点是支座较低，由钢板制成，其优点是(　　)。

发生铁路建设工程质量事故，应当依据国家相关规定调查处理。下列事故调查处理应当执行《铁路交通事故应急救援和调查处理条例》的是()。

成人择期手术患者术前应禁食的时间为()。

下列各项符合20世纪初梁启超史学主张的是()①反对把史书写成帝王谱牒②提倡用章节体编写史书③批判近代西方史学理论④强调探讨社会进化之理

一棵二叉树的前序遍历结果是ABCEDF，中序遍历结果是CBAEDF，则其后序遍历的结果是()。

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设A是n阶矩阵，α1，α2，…，αn是n维列向量，且αn≠0，若Aα1=α2，Aα2=α3，…，Aαn-1=αn，Aαn=0．(1)证明：α1，α2，…，αn线性无关；(2)求A的特征值与特征向量．

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