[2013年] 设二次型 f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a33x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．

admin2021-01-19 65

问题 [2013年] 设二次型
f(x₁，x₂，x₃)=2(a₁x₁+a₂x₂+a₃3x₃)²+(b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃)²，
记

若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²．

选项

答案因α，β为单位向量且相互正交，有 β^Tα=α^Tβ=0，∣∣α∣∣=[*]=1，∣∣β∣∣=[*]=1，故α^Tα=1，，β^Tβ=1，因而 Aα=(2αα^T+ββ^T)α=2α(α^Tα)+β(β^Tα)=2α∣∣α∣∣+β(β^Tα)=2α·1+β·0=2α 即α为A的属于特征值λ₁=2的特征向量． Aβ=(2αα^T+ββ^T)β=2α(α^Tβ)+β(β^Tβ)=2α·0+β·1=β，即β为A的属于特征值λ₂=1的特征向量．又秩(A)=秩(2αα^T+ββ^T)≤秩(2αα^T)+秩(ββ^T)≤秩(α)+秩(β)=1+1=2＜3，则A的第三个特征值为λ₃=0．故f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²．

解析

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考研数学二

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[2013年] 设二次型 f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a33x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．

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设α1=(1，2，1)T，α2=(2，3，a)T，α3=(1，a+2，一2)T，若β1=(1，3，4)T可以由α1,α2,α3线性表示，但是β2=(0，1，2)T不可以由α1,α2,α3线性表示，则a=__________.

与α1=(1，-1，0，2)T，α2=(2，3，1，1)T，α3=(0，0，1，2)T都正交的单位向量是_______．

设A为n阶可逆矩阵(n≥2)，则[(A)]-1＝_______(用A*表示)．

设A=，A为A的伴随矩阵，则(A)－1=_________。

若向量组α1=(1，一1，2，4)T，α2=(0，3，1，2)T，α4=(3，0，7，a)T，α4=(1，一2，2，0)T线性无关，则未知数a的取值范围是__________.

设A=有三个线性无关的特征向量，则a=_________．

设向量组α1，α2，α3线性相关，而α2，α3，α4线性无关，问：(1)α1能否用α2，α3线性表示?并证明之；(2)α4能否用α1，α2，α3线性表示?并证明之．

设e＜a＜6，证明a2＜＜b2。

关于成倍节拍流水施工特点的说法，错误的有()。

《公民道德建设实施纲要》中提出的“爱国守法、明礼诚信、团结友善、勤俭自强、敬业奉献”，是我国公民应当遵守的()

下列哪种消毒措施对HIv不敏感()

()的理论基础是新古典经济学有关资源优化配置的理论。

下列关于投标保证金的表述中，正确的是（）。

圆面积为()．

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