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[2013年] 设二次型 f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a33x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2， 记 若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．
[2013年] 设二次型 f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a33x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2， 记 若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．
admin
2021-01-19
85
问题
[2013年] 设二次型
f(x
1
，x
2
，x
3
)=2(a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
3x
3
)
2
+(b
1
x
1
+b
2
x
2
+b
3
x
3
)
2
，
记
若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y
1
2
+y
2
2
．
选项
答案
因α，β为单位向量且相互正交，有 β
T
α=α
T
β=0，∣∣α∣∣=[*]=1，∣∣β∣∣=[*]=1， 故α
T
α=1，，β
T
β=1，因而 Aα=(2αα
T
+ββ
T
)α=2α(α
T
α)+β(β
T
α)=2α∣∣α∣∣+β(β
T
α)=2α·1+β·0=2α 即α为A的属于特征值λ
1
=2的特征向量． Aβ=(2αα
T
+ββ
T
)β=2α(α
T
β)+β(β
T
β)=2α·0+β·1=β， 即β为A的属于特征值λ
2
=1的特征向量． 又秩(A)=秩(2αα
T
+ββ
T
)≤秩(2αα
T
)+秩(ββ
T
)≤秩(α)+秩(β)=1+1=2＜3， 则A的第三个特征值为λ
3
=0．故f在正交变换下的标准形为2y
1
2
+y
2
2
．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/jv84777K
0
考研数学二
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