设α1,…,αn为n个m维向量,且m<n.证明:α1,…,αn线性相关.

admin2019-07-22  43

问题 设α1,…,αn为n个m维向量,且m<n.证明:α1,…,αn线性相关.

选项

答案方法一 向量组α1,…,αn线性相关的充分必要条件是方程组x1α1+…+xnαn=0有非零解,因为方程组x1α1+…+xnαn=0中变量有n个,约束条件最多有m个且m<n,所以方程组x1α1+…+xnαn=0一定有自由变量,即方程组有非零解,故向量组α1,…,αn线性相关. 方法二 令A=(α1,…,αn),r(A)≤min{m,n)=m<n,因为矩阵的秩与矩阵的行向量组与列向量组的秩相等,所以向量组α1,…,αn的秩不超过m,于是向量组α1,…,αn线性相关.

解析
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