假设测量的随机误差X~N(0,102),试求在100次独立重复测量中,至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率α,并利用泊松定理求出α的近似值(e-5=0.007).

admin2018-11-23  37

问题 假设测量的随机误差X~N(0,102),试求在100次独立重复测量中,至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率α,并利用泊松定理求出α的近似值(e-5=0.007).

选项

答案记事件A=“100次独立测量中至少有3次测量误差X的绝对值大于19.6”=“100次独立测量中,事件{|X|>19.6}至少发生3次”,依题意,所求α=P(A).如果记事件C={|X|>19.6},Y表示100次独立测量中事件C发生的次数,则事件A={Y≥3},Y~B(100,p),其中P=P(C). p=P(C)=P{|X|>19.6}=1-P{|X|≤19.6} =1-P{-19.6≤X≤19.6}=1-[*] =2[1-Ф(1.96)]=2×0.025=0.05, 因此所求的概率 α=P(A)=P{Y≥3}=1-P{Y<3} =1-P{Y=0}-P{Y=1}-P{Y=2}, 其中P{Y=k}=C100kpk(1-p)100-k=C100k×0.05k×0.95100-k. 由于n=100充分大,p=0.05很小,np=100×0.05=5适中,显然满足泊松定理的条件,可认为Y近似服从参数为5的泊松分布.因此P{Y=k}≈[*]e-λ,其中λ=np=5,于是 α≈1-e-5-5e-5-[*]e-5=1-18.5e-5=0.87.

解析
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