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  3. 假设测量的随机误差X～N(0，102)，试求在100次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于19．6的概率α，并利用泊松定理求出α的近似值(e-5＝0．007)．

假设测量的随机误差X～N(0，102)，试求在100次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于19．6的概率α，并利用泊松定理求出α的近似值(e-5＝0．007)．

admin2018-11-23  72
问题 假设测量的随机误差X～N(0，102)，试求在100次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于19．6的概率α，并利用泊松定理求出α的近似值(e-5＝0．007)．
选项
答案记事件A＝“100次独立测量中至少有3次测量误差X的绝对值大于19．6”＝“100次独立测量中，事件{｜X｜＞19．6}至少发生3次”，依题意，所求α＝P(A)．如果记事件C＝{｜X｜＞19．6}，Y表示100次独立测量中事件C发生的次数，则事件A＝{Y≥3}，Y～B(100，p)，其中P＝P(C)． p＝P(C)＝P{｜X｜＞19．6}＝1－P{｜X｜≤19．6} ＝1－P{－19．6≤X≤19．6}＝1－[*] ＝2[1－Ф(1．96)]＝2×0．025＝0．05， 因此所求的概率 α＝P(A)＝P{Y≥3}＝1－P{Y＜3} ＝1－P{Y＝0}－P{Y＝1}－P{Y＝2}， 其中P{Y＝k}＝C100kpk(1－p)100-k＝C100k×0．05k×0．95100-k． 由于n＝100充分大，p＝0．05很小，np＝100×0．05＝5适中，显然满足泊松定理的条件，可认为Y近似服从参数为5的泊松分布．因此P{Y＝k}≈[*]e－λ，其中λ＝np＝5，于是 α≈1－e-5－5e-5－[*]e-5＝1－18．5e-5＝0．87．
解析
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考研数学一

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