设f(x)在区间[0，1]上可积，当0≤x＜y≤1时，｜f(x)－f(y)｜≤｜arctanx－arctany｜，又f(1)=0，证明：｜∫01f(x)dx｜≤1/2 1n2．

admin2022-06-30 41

问题设f(x)在区间[0，1]上可积，当0≤x＜y≤1时，｜f(x)－f(y)｜≤｜arctanx－arctany｜，又f(1)=0，证明：｜∫₀¹f(x)dx｜≤1/2 1n2．

选项

答案由｜f(x)｜=｜f(x)－f(1)｜=｜arctanx－arctan1｜=｜arctanx－π/4｜得｜∫₀¹f(x)dx｜≤∫₀¹｜f(x)｜dx≤∫₀¹｜arctanx－π/4｜dx=∫₀¹(π/4－arctanx)dx =π/4－∫₀¹arctanxdx=π/4－xarctanx｜₀¹+∫₀¹[*]=1/21n(1+x²)｜₀¹=1/21n2．

解析

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考研数学二

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