某种产品每箱48个。小李制作这种产品,第1天制作了1个,以后每天都比前一天多制作1个。X天后总共制作了整数箱产品。问X的最小值在以下哪个范围内?

admin2019-12-04  25

问题 某种产品每箱48个。小李制作这种产品,第1天制作了1个,以后每天都比前一天多制作1个。X天后总共制作了整数箱产品。问X的最小值在以下哪个范围内?

选项 A、在41~60之间
B、超过60
C、不到20
D、在20~40之间

答案D

解析 第 1 天制作了 1 个,以后每天都比前一天多制作 1 个,所以每天制作的产品数量为公差为 1 的等差数列,产品总数为。设总共制作了 N 箱,则,化简得(1+X)X=96N。
分析该式可知,(1+X)X能被 96 整除且1+X和X必然一奇一偶,而 96 的大于 1 的奇数因子只有 3,故将96 因式分解为3×32,故1+X和X其中必有一个能被 32 整除、另一个能被 3 整除。
要让X最小,不妨令X=32,此时X+1=33,两个倍数均满足,代入(1+X)X=96N解得N=11,不违反题意,故X=32。
故正确答案为 D。
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