求解微分方程y″一

admin2016-11-03 18

问题求解微分方程y″一

选项

答案原方程可化为x²y″一xy′+y=2x，此谓欧拉方程．作代换x=e^t，则t=lnx，代入方程得到 [*]+(一1—1)[*]+y=2e^t，即 [*]+y=2e^t． ① 事实上， [*] 将其代入原方程即得方程①．下求解方程①．其特征方程为 r²一2r+1=(r一1)²=0， r₁=r₂=1，故其齐次方程的通解为 Y=(C₁+C₂t)e^t=(C₁+C₂lnx)x．设非齐次方程的特解为y^*=At²e^t．代入①得A=1，故 y^*=t²e^t=x(lnx)²．于是原方程的通解为 y=Y+y^*=(C₁+C₂lnx)x+x(lnx)²．

解析

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考研数学一

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[*]
设函数y=y(x)在(-∞，+∞)内具有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．试将x=x(y)所满足的微分方程(d2x)/(dy2)+(y+sinx)(dx/dy)=0变换为y=y(x)满足的微分方程；
设Q={(x，y，z)丨x2+y2+z2≤1}，求.
设幂级数anxn在(-∞，+∞)内收敛，其和函数y(x)满足y"-2xy’-4y=0，y(0)=0，y’(0)=1．证明an+2=2/(n+1)an，n=1，2，…；
幂级数x2n-1的收敛半径R=___________.
设f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导数fˊ(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少，f(0)＝0，试应用拉格朗日中值定理证明不等式：f(a＋b)≤f(a)＋f(b)，其中常数a，b满足条件0≤a≤b≤a＋b≤c．
曲面(z－a)ψ(x)＋(z－b)φ(y)＝0与x2＋y2＝1，z＝0所围立体的体积V＝________(其中φ为连续正值函数，a＞0，b＞0)．
(2009年试题，17)椭球面S1是椭圆绕x轴旋转而成，圆锥面S2是过点(4，0)且与椭圆相切的直线绕轴旋转而成．求S1及S2的方程；
(2003年试题，八)设函数f(x)连续且恒大于零，其中Ω(t)={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤t2}，D(t)={(x，y)｜x2+y2≤t2}．讨论F(t)在区间(0，+∞)内的单调性；

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下列关于曲面方程的结论中，错误的是()。
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Decisionscanbemadequickly,ortheycanbemadeaftercarefulthought.Doyouagreeordisagreewiththefollowingstatement?
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