求解微分方程y″一

admin2016-11-03 21

问题求解微分方程y″一

选项

答案原方程可化为x²y″一xy′+y=2x，此谓欧拉方程．作代换x=e^t，则t=lnx，代入方程得到 [*]+(一1—1)[*]+y=2e^t，即 [*]+y=2e^t． ① 事实上， [*] 将其代入原方程即得方程①．下求解方程①．其特征方程为 r²一2r+1=(r一1)²=0， r₁=r₂=1，故其齐次方程的通解为 Y=(C₁+C₂t)e^t=(C₁+C₂lnx)x．设非齐次方程的特解为y^*=At²e^t．代入①得A=1，故 y^*=t²e^t=x(lnx)²．于是原方程的通解为 y=Y+y^*=(C₁+C₂lnx)x+x(lnx)²．

解析

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考研数学一

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