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设n阶方阵A的秩满足 r(A+I)+r(A—I)=n, 且A≠I(单位方阵),证明:一1是A的一个特征值.
设n阶方阵A的秩满足 r(A+I)+r(A—I)=n, 且A≠I(单位方阵),证明:一1是A的一个特征值.
admin
2019-05-09
49
问题
设n阶方阵A的秩满足
r(A+I)+r(A—I)=n,
且A≠I(单位方阵),证明:一1是A的一个特征值.
选项
答案
由于A≠I,所以A—I不是零矩阵,从而r(A—I)≥1,因此由已知条件r(A+I)≤n一1,A+I是奇异矩阵,|A+I|=0,所以齐次线性方程组(A+I)X=0有非零解α.即存在非零向量α使得(A+I)α=0.Aα=0,Aα=一α,所以λ=一1是A的一个特征值.
解析
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线性代数(经管类)题库公共课分类
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线性代数(经管类)
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