设n阶方阵A的秩满足 r(A+I)+r(A—I)=n，且A≠I(单位方阵)，证明：一1是A的一个特征值．

admin2019-05-09 72

问题设n阶方阵A的秩满足
r(A+I)+r(A—I)=n，
且A≠I(单位方阵)，证明：一1是A的一个特征值．

选项

答案由于A≠I，所以A—I不是零矩阵，从而r(A—I)≥1，因此由已知条件r(A+I)≤n一1，A+I是奇异矩阵，｜A+I｜=0，所以齐次线性方程组(A+I)X=0有非零解α．即存在非零向量α使得(A+I)α=0．Aα=0，Aα=一α，所以λ=一1是A的一个特征值．

解析

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线性代数（经管类）

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