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(Ⅰ)设函数y=y(x)由方程sin(x2+y2)+ex-xy2=0所确定,求 (Ⅱ)设函数y=y(x)由方程x3+y3-sin3x+6y=0所确定,求dy|x=0; (Ⅲ)设函数y=f(x+y),其中f具有二阶导数,且f’≠1,求
(Ⅰ)设函数y=y(x)由方程sin(x2+y2)+ex-xy2=0所确定,求 (Ⅱ)设函数y=y(x)由方程x3+y3-sin3x+6y=0所确定,求dy|x=0; (Ⅲ)设函数y=f(x+y),其中f具有二阶导数,且f’≠1,求
admin
2016-10-20
63
问题
(Ⅰ)设函数y=y(x)由方程sin(x
2
+y
2
)+e
x
-xy
2
=0所确定,求
(Ⅱ)设函数y=y(x)由方程x
3
+y
3
-sin3x+6y=0所确定,求dy|
x=0
;
(Ⅲ)设函数y=f(x+y),其中f具有二阶导数,且f’≠1,求
选项
答案
(Ⅰ)方法1° 将原方程两边直接对x求导数,并注意y是x的函数,然后解出y’即可.由 (2x+2y.y’)cos(x
2
+y
2
)+e
x
-y
2
-2xy.y=0, 得[*] 方法2° 将方程sin(x
2
+y
2
)+e
x
-xy
2
=0两边同时求全微分并写成f(x,y)dy=g(x,y)dx形式, 则[*]即为所求.由 cos(x
2
+y
2
)(2xdx+2ydy)+e
x
ddx-y
2
dx-2xydy=0, 得[*] (Ⅱ)方法1° 先用隐函数求导法求出y’,再求微分dy=y’dx.在方程的两边对x求导,并注意到y是x的函数,得 3x
2
+3y
2
y’-3cos3x+6y’=0, 即[*] 又y|
x=0
=0,所以y’|
x=0
=[*] 方法2° 利用一阶微分形式的不变性.由 d(x
3
+y
3
-sin3x+6y)=0, 即3x
2
dx+3y
2
dy-3cos3xdx+6dy=0, 解得[*] (Ⅲ)y=y(x)由方程f(x+y)-y=0确定,f为抽象函数,若把f(x+y)看成f(u),u=x+y,y=y(x),则变成复合函数和隐函数的求导问题.注意,f(x+y)及其导函数f’(x+y)均是x的复合函数. 将y=f(x+y)两边对x求导,并注意y是x的函数,f是关于x的复合函数,有 y’=f’.(1+y’), 即[*] 又由y’=(1+y’)f’再对x求导,并注意y’是x的函数,f’仍然是关于x的复合函数,有 y’’=(1+y’)’f’+(1+y’)(f’)’=y’’f’+(1+y’)f’’.(1+y’)=y"f’+(1+y’)
2
f’’, [*]
解析
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考研数学三
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