(Ⅰ)设函数y=y(x)由方程sin(x2+y2)+ex-xy2=0所确定，求 (Ⅱ)设函数y=y(x)由方程x3+y3-sin3x+6y=0所确定，求dy｜x=0； (Ⅲ)设函数y=f(x+y)，其中f具有二阶导数，且f’≠1，求

admin2016-10-20 63

问题 (Ⅰ)设函数y=y(x)由方程sin(x²+y²)+e^x-xy²=0所确定，求

(Ⅱ)设函数y=y(x)由方程x³+y³-sin3x+6y=0所确定，求dy｜_x=0；
(Ⅲ)设函数y=f(x+y)，其中f具有二阶导数，且f’≠1，求

选项

答案(Ⅰ)方法1° 将原方程两边直接对x求导数，并注意y是x的函数，然后解出y’即可．由 (2x+2y.y’)cos(x²+y²)+e^x-y²-2xy.y=0，得[*] 方法2° 将方程sin(x²+y²)+e^x-xy²=0两边同时求全微分并写成f(x，y)dy=g(x，y)dx形式，则[*]即为所求．由 cos(x²+y²)(2xdx+2ydy)+e^xddx-y²dx-2xydy=0，得[*] (Ⅱ)方法1° 先用隐函数求导法求出y’，再求微分dy=y’dx．在方程的两边对x求导，并注意到y是x的函数，得 3x²+3y²y’-3cos3x+6y’=0，即[*] 又y｜_x=0=0，所以y’｜_x=0=[*] 方法2° 利用一阶微分形式的不变性．由 d(x³+y³-sin3x+6y)=0，即3x²dx+3y²dy-3cos3xdx+6dy=0，解得[*] (Ⅲ)y=y(x)由方程f(x+y)-y=0确定，f为抽象函数，若把f(x+y)看成f(u)，u=x+y，y=y(x)，则变成复合函数和隐函数的求导问题．注意，f(x+y)及其导函数f’(x+y)均是x的复合函数．将y=f(x+y)两边对x求导，并注意y是x的函数，f是关于x的复合函数，有 y’=f’.(1+y’)，即[*] 又由y’=(1+y’)f’再对x求导，并注意y’是x的函数，f’仍然是关于x的复合函数，有 y’’=(1+y’)’f’+(1+y’)(f’)’=y’’f’+(1+y’)f’’.(1+y’)=y"f’+(1+y’)²f’’， [*]

解析

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考研数学三

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