首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设二次型 f(x1,x2,x3)=XTAX=ax12+2x22—2x32+2x1x3(b>0) 中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为一12. (1)求a,b的值. (2)利用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用
设二次型 f(x1,x2,x3)=XTAX=ax12+2x22—2x32+2x1x3(b>0) 中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为一12. (1)求a,b的值. (2)利用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用
admin
2017-07-26
90
问题
设二次型
f(x
1
,x
2
,x
3
)=X
T
AX=ax
1
2
+2x
2
2
—2x
3
2
+2x
1
x
3
(b>0)
中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为一12.
(1)求a,b的值.
(2)利用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.
选项
答案
(1)二次型f的矩阵为 [*] 设A的特征值为λ
i
(i=1,2,3). 由题设, λ
1
+λ
2
+λ
3
=a+2+(一2)=1, λ
1
.λ
2
.λ
3
=[*]=—4a—2b2=—12. 得a=1,b=一2. (2)由矩阵A的特征多项式 |λE一A|=[*]=(λ一2)
2
(λ+3), 得A的特征值λ
1
=λ
2
—2,λ
3
=一3. 对于λ
1
=λ
2
=2,解齐次线性方程组(2E—A)x=0,得其基础解系 ξ
1
=(2,0,1)
T
,ξ
2
=(0,1,0)
T
. 对于λ
3
=一3,解齐次线性方程组(一3E—A)x=0,得其基础解系 ξ
3
=(1,0,一2)
T
. 由于ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
已是正交向量组,为了得到规范正交向量组,只需将ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
单位化,由此得 [*] 则Q为正交矩阵.在正交变换X=QY下,有 Q
T
AQ=[*] 且二次型的标准形为 f=2y
1
2
+2y
2
2
—3y
3
2
设A的特征值为λ
1
,λ
2
,λ
3
,则λ
1
=2,λ
2
+λ
3
=a一2,λ
2
λ
3
=一(2a+b
2
).由题设得 λ
1
+λ
2
+λ
3
=2+(a一2)=1, λ
1
λ
2
λ
3
=一2(2a+b
2
)=一12. 得a=1,b=2.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/kgH4777K
0
考研数学三
相关试题推荐
设函数f(x)在点x。处有连续的二阶导数,证明
[*]
A、 B、 C、 D、 A
设A是n阶反对称矩阵,证明:如果λ是A的特征值,那么一λ也必是A的特征值.
n+1阶行列式=_____,其中ai≠0(i,2,…,n).
已知线性方程Ax=β的增广矩阵可化为且方程组有无穷多解,则参数A的取值必须满足().
μ(x,y)=x2-xy+y2,L为抛物线y=x2自原点至点A(1,1)的有向弧段n为L的切向量顺时针旋转π/2角所得的法向量为函数μ沿法向量n的方向导数,计算
设A为n阶非零矩阵,A*是A的伴随矩阵,AT是A的转置矩阵,当A*=AT时,证明丨A丨≠0.
设n阶实对称矩阵A的秩为r,且满足A2=A(A称为幂等阵). 求:(1)二次型XTAX的标准形;(2)|E+A+A2+…+An|的值.
随机试题
考生文件夹下存在一个数据库文件“samp2.accdb”,里面已经设计好3个关联表对象“tStud”、“tCourse”、“tScore”和一个临时表对象“tTemp”。试按以下要求完成设计。创建一个查询,查找没有选课的同学,并显示其“学号”和“姓名
Accordingtothedictionarydefinitionof"create",ordinarypeoplearecreativeeveryday.Tocreatesomethingmeans"tobring
A、左心房增大B、左心室增大C、右心房增大D、右心室增大E、左心房、左心室增大肺动脉瓣狭窄,超声心动图显示()
"寒湿客肠,气血凝滞,传导失司"是何病证的病机"脾胃气虚,纳运无力,胃虚上逆"是何病证的病机
哪种心律失常易发生"心输出量减少"护理问题:
你认为保持价格总水平基本稳定的途径是什么?
()对于湿地相当于稀土对于()
Magicians______usetechniquesfromscienceandtheartstodeceivethemindandeye.
在软件设计中,不属于过程设计工具的是
Usuallyitisnoteasytofindone’sown(weak)______.
最新回复
(
0
)