设二次型 f(x1,x2,x3)=XTAX=ax12+2x22—2x32+2x1x3(b>0) 中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为一12. (1)求a,b的值. (2)利用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用

admin2017-07-26  50

问题 设二次型
    f(x1,x2,x3)=XTAX=ax12+2x22—2x32+2x1x3(b>0)
    中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为一12.
    (1)求a,b的值.
    (2)利用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.

选项

答案(1)二次型f的矩阵为 [*] 设A的特征值为λi(i=1,2,3). 由题设, λ123=a+2+(一2)=1, λ1.λ2.λ3=[*]=—4a—2b2=—12. 得a=1,b=一2. (2)由矩阵A的特征多项式 |λE一A|=[*]=(λ一2)2(λ+3), 得A的特征值λ12—2,λ3=一3. 对于λ12=2,解齐次线性方程组(2E—A)x=0,得其基础解系 ξ1=(2,0,1)T,ξ2=(0,1,0)T. 对于λ3=一3,解齐次线性方程组(一3E—A)x=0,得其基础解系 ξ3=(1,0,一2)T. 由于ξ1,ξ2,ξ3已是正交向量组,为了得到规范正交向量组,只需将ξ1,ξ2,ξ3单位化,由此得 [*] 则Q为正交矩阵.在正交变换X=QY下,有 QTAQ=[*] 且二次型的标准形为 f=2y12+2y22—3y32 设A的特征值为λ1,λ2,λ3,则λ1=2,λ23=a一2,λ2λ3=一(2a+b2).由题设得 λ123=2+(a一2)=1, λ1λ2λ3=一2(2a+b2)=一12. 得a=1,b=2.

解析
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