假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,并且g"(x)≠0,f(a)=f(b) =g(a)=g(b)=0,试证: (Ⅰ)在开区间(a,b)内g(x)≠0; (Ⅱ)在开区间(a,b)内至少存在一点ξ,使

admin2017-12-29  37

问题 假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,并且g"(x)≠0,f(a)=f(b) =g(a)=g(b)=0,试证:
(Ⅰ)在开区间(a,b)内g(x)≠0;
(Ⅱ)在开区间(a,b)内至少存在一点ξ,使

选项

答案(Ⅰ)利用反证法。假设存在c∈(a,b),使得g(c)=0,则对g(x)在[a,c]和[c,b]上分别应用罗尔定理,可知存在ξ1∈(a,c)和ξ2∈(c,b),使得g’(ξ1)=g’(ξ2)=0成立。 接着再对g’(x)在区间[ξ1,ξ2]上应用罗尔定理,可知存在ξ3∈(ξ1,ξ2),使得g"(ξ3)=0成立,这与题设条件g"(x)≠0矛盾,因此在开区间(a,b)内g(x)≠0。 (Ⅱ)构造函数F(x)=f(x)g’(x)—g(x)f’(x),由题设条件得,函数F(x)在区间[a,b]上是连续的,在区间(a,b)上是可导的,且满足F(a)=F(b)=0。根据罗尔定理可知,存在点ξ∈(a,b),使得F’(ξ)=0。即f(ξ)g"(ξ)一f"(ξ)g(ξ)=0, 因此可得 [*]

解析
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