2. 考研
  3. 假设函数f（x）和g（x）在[a，b]上存在二阶导数，并且g"（x）≠0，f（a）=f（b） =g（a）=g（b）=0，试证： （Ⅰ）在开区间（a，b）内g（x）≠0； （Ⅱ）在开区间（a，b）内至少存在一点ξ，使

假设函数f（x）和g（x）在[a，b]上存在二阶导数，并且g"（x）≠0，f（a）=f（b） =g（a）=g（b）=0，试证： （Ⅰ）在开区间（a，b）内g（x）≠0； （Ⅱ）在开区间（a，b）内至少存在一点ξ，使

admin2017-12-29  63
问题 假设函数f（x）和g（x）在[a，b]上存在二阶导数，并且g"（x）≠0，f（a）=f（b） =g（a）=g（b）=0，试证：
（Ⅰ）在开区间（a，b）内g（x）≠0；
（Ⅱ）在开区间（a，b）内至少存在一点ξ，使
选项
答案（Ⅰ）利用反证法。假设存在c∈（a，b），使得g（c）=0，则对g（x）在[a，c]和[c，b]上分别应用罗尔定理，可知存在ξ1∈（a，c）和ξ2∈（c，b），使得g’（ξ1）=g’（ξ2）=0成立。 接着再对g’（x）在区间[ξ1，ξ2]上应用罗尔定理，可知存在ξ3∈（ξ1，ξ2），使得g"（ξ3）=0成立，这与题设条件g"（x）≠0矛盾，因此在开区间（a，b）内g（x）≠0。 （Ⅱ）构造函数F（x）=f（x）g’（x）—g（x）f’（x），由题设条件得，函数F（x）在区间[a，b]上是连续的，在区间（a，b）上是可导的，且满足F（a）=F（b）=0。根据罗尔定理可知，存在点ξ∈（a，b），使得F’（ξ）=0。即f（ξ）g"（ξ）一f"（ξ）g（ξ）=0， 因此可得 [*]
解析
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考研数学三

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