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设有曲面S:=1,平面∏:2x+2y+z+5=0. (Ⅰ)在曲面S上求平行于平面∏的切平面方程; (Ⅱ)求曲面S与平面∏之间的最短距离.
设有曲面S:=1,平面∏:2x+2y+z+5=0. (Ⅰ)在曲面S上求平行于平面∏的切平面方程; (Ⅱ)求曲面S与平面∏之间的最短距离.
admin
2016-10-26
64
问题
设有曲面S:
=1,平面∏:2x+2y+z+5=0.
(Ⅰ)在曲面S上求平行于平面∏的切平面方程;
(Ⅱ)求曲面S与平面∏之间的最短距离.
选项
答案
(Ⅰ)先写出曲面S上任意点(x
0
,y
0
,z
0
)处的切平面方程. 记S的方程为F(x,y,z)=0,F(x,y,z)=[*]-1,则S上点M
0
(x
0
,y
0
,z
0
)处的切平面方程为 F′
x
(M
0
)(x-x
0
)+F′
y
(M
0
)(y-y
0
)+F′
z
(M
0
)(z-z
0
)=0, 其中F′
x
(M
0
)=x
0
, F′
y
(M
0
)=2y
0
, F′
z
(M
0
)=[*]z
0
. 该切平面与平面∏平行[*]它们的法向量共线即成比例[*]=λ,且 2x
0
+2y
0
+z
0
+5≠0. 因为M
0
(x
0
,y
0
,z
0
)在S上,所以它满足方程 [*] 即4λ
2
=1.λ=±[*]于是,(x
0
,y
0
,z
0
)=±(1,[*],1)显然,(x
0
,y
0
,z
0
)不在平面∏上. 相应的切平面方程是 [*] 即 x+y+[*]z-2=0, x+y+[*]z+2=0. 这就是曲面S上平行于平面∏的切平面方程. (Ⅱ)椭球面S是夹在上述两个切平面之间,故曲面S上切点到平面∏的距离最短或最长 [*] 因此,曲面S到平面∏的最短距离为d
2
=[*]
解析
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0
考研数学一
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