设有曲面S:=1,平面∏:2x+2y+z+5=0. (Ⅰ)在曲面S上求平行于平面∏的切平面方程; (Ⅱ)求曲面S与平面∏之间的最短距离.

admin2016-10-26  32

问题 设有曲面S:=1,平面∏:2x+2y+z+5=0.
(Ⅰ)在曲面S上求平行于平面∏的切平面方程;
(Ⅱ)求曲面S与平面∏之间的最短距离.

选项

答案(Ⅰ)先写出曲面S上任意点(x0,y0,z0)处的切平面方程. 记S的方程为F(x,y,z)=0,F(x,y,z)=[*]-1,则S上点M0(x0,y0,z0)处的切平面方程为 F′x(M0)(x-x0)+F′y(M0)(y-y0)+F′z(M0)(z-z0)=0, 其中F′x(M0)=x0, F′y(M0)=2y0, F′z(M0)=[*]z0. 该切平面与平面∏平行[*]它们的法向量共线即成比例[*]=λ,且 2x0+2y0+z0+5≠0. 因为M0(x0,y0,z0)在S上,所以它满足方程 [*] 即4λ2=1.λ=±[*]于是,(x0,y0,z0)=±(1,[*],1)显然,(x0,y0,z0)不在平面∏上. 相应的切平面方程是 [*] 即 x+y+[*]z-2=0, x+y+[*]z+2=0. 这就是曲面S上平行于平面∏的切平面方程. (Ⅱ)椭球面S是夹在上述两个切平面之间,故曲面S上切点到平面∏的距离最短或最长 [*] 因此,曲面S到平面∏的最短距离为d2=[*]

解析
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