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证明:ex+e-x≥2x2+2cosx,-∞<x<+∞。
证明:ex+e-x≥2x2+2cosx,-∞<x<+∞。
admin
2021-07-15
42
问题
证明:e
x
+e
-x
≥2x
2
+2cosx,-∞<x<+∞。
选项
答案
令f(x)=e
x
+e
-x
-2x
2
-2cosx,显然f(x)为偶函数,f(0)=0,只需证x≥0的情形。 由f’(x)=e
x
-e
-x
-4x+2sinx,f"(x)=e
x
+e
-x
-4+2cosx f"’(x)=e
x
-e
-x
-2sinx,f
(1)
(x)=e
x
+e
-x
-2cosx 知当x>0时,f
(4)
(x)>2[*]-2cosx=2(-cosx),且f(0)=f’(0)=f"(0)=f"’(0)=f
(4)
(0)=0,所以 f(x)=f(0)+f’(0)x+[*]x
4
>0(ξ介于0与x之间) 即x≥0时,f(x)≥0,故 e
x
+e
-x
≥2x
2
+2cosx,-∞<x<+∞。
解析
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考研数学二
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