证明：ex+e-x≥2x2+2cosx,－∞＜x＜+∞。

admin2021-07-15 25

问题证明：e^x+e^-x≥2x²+2cosx,－∞＜x＜+∞。

选项

答案令f(x)=e^x+e^-x－2x²－2cosx,显然f(x)为偶函数，f(0)=0,只需证x≥0的情形。由f’(x)=e^x－e^-x－4x+2sinx,f"(x)=e^x+e^-x－4+2cosx f"’(x)=e^x－e^-x－2sinx,f⁽¹⁾(x)=e^x+e^-x－2cosx 知当x＞0时，f⁽⁴⁾(x)＞2[*]－2cosx=2(－cosx),且f(0）=f’(0)=f"(0)=f"’(0)=f⁽⁴⁾(0)=0,所以 f(x)=f(0)+f’(0)x+[*]x⁴＞0（ξ介于0与x之间）即x≥0时，f(x)≥0,故 e^x+e^-x≥2x²+2cosx,－∞＜x＜+∞。

解析

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