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如图1,已知点A(2,0),B(0,4),∠AOB的平分线交AB于C,一动点P从O点出发,以每秒2个单位长度的速度,沿y轴向点B作匀速运动,过点P且平行于AB的直线交x轴于Q,作P、Q关于直线OC的对称点M、N.设P运动的时间为t(0<t<2)秒. 设
如图1,已知点A(2,0),B(0,4),∠AOB的平分线交AB于C,一动点P从O点出发,以每秒2个单位长度的速度,沿y轴向点B作匀速运动,过点P且平行于AB的直线交x轴于Q,作P、Q关于直线OC的对称点M、N.设P运动的时间为t(0<t<2)秒. 设
admin
2019-06-01
51
问题
如图1,已知点A(2,0),B(0,4),∠AOB的平分线交AB于C,一动点P从O点出发,以每秒2个单位长度的速度,沿y轴向点B作匀速运动,过点P且平行于AB的直线交x轴于Q,作P、Q关于直线OC的对称点M、N.设P运动的时间为t(0<t<2)秒.
设△MNC与△OAB重叠部分的面积为S.
①试求S关于t的函数关系式;
②在图2的直角坐标系中,画出S关于t的函数图象,并回答:S是否有最大值?
若有,写出S的最大值;若没有,请说明理由.
选项
答案
①当0<t≤1时,如答图2—1所示,点M在线段OA上,重叠部分面积为S
△CMN
. [*] S
△CMN
=S
△四边形CMON
—S
△OMN
=(S
△COM
+S
△CON
)-S
△OMN
=[*]×2t·t=-t
2
+2t;当1<t<2时,如答图2—2所示,点M在OA的延长线上,设MN与AB交于点D,则重叠部分面积为S
△CON
.设直线MN的解析式为y=kx+b,将M(2t,0)、N(0,t)代入得[*]解得[*]x+t;同理求得直线AB的解析式为:y=-2x+4.联立y=-[*]x+t与y=-2x+4,求得点D的横坐标为[*].S
△CDN
=S
△BDN
-S
△BCN
=[*]=t
2
—2t+[*].综上所述,S=[*] ②画出函数图象,如答图2—3所示:观察图象,可知当t=1时,S有最大值,最大值为1. [*]
解析
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