设A是m×n阶矩阵，且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)==r＜n，证明：方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n一r+l个．

admin2016-10-24 29

问题设A是m×n阶矩阵，且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)=

=r＜n，证明：方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n一r+l个．

选项

答案因为r(A)=r＜n，所以齐次线性方程组AX=0的基础解系含有n一r个线性无关的解向量，设为ξ₁，ξ₂，…，ξ_n一r．设η₀为方程组AX=b的一个特解，令β₀=η₀，β₁=ξ₁+η₀，β₂=ξ₂+η₀，…，β_n一r=ξ_n一r+η₀，显然β₀，β₁，β₂，…，β_n一r为方程组AX=b的一组解．令k₀β₀+k₁β₁+…+k_n一rβ_n一r=0，即 (k₀+k₁+…+k_n一r)η₀+k₁ξ₁+k₂ξ₂+…+k_n一rξ_n一r=0，上式两边左乘A得(k₀+k₁+…+k_n一r)b=0，因为b为非零列向量，所以k₀+k₁+…+k_n一r=0，于是k₁ξ₁+k₂ξ₂+…+k_n一rξ_n一r=0，注意到ξ₁，ξ₂，…，ξ_n一r线性无关，所以k₁=k₂=…=k_n一r=0，故β₀，β₁，β₂，…，β_n一r线性无关，即方程组AX=b存在由n一r+1个线性无关的解向量构成的向量组，设β₁，β₂，…，β_n一r+2为方程组AX=b的一组线性无关解，令γ₁=β₂一β₁，γ₂=β₃一β₁，…，γ_n一r+1=β_n一r+2一β₁，根据定义，易证β₁，β₂，…，β_n一r+1线性无关，又γ₁，γ₂，…，γ_n一r+1，为齐次线性方程组Ax=0的一组解，即方程组AX=0含有n一r+1个线性无关的解，矛盾，所以AX=b的任意n一r+2个解向量都是线性相关的，所以AX=b的线性无关的解向量的个数最多为n一r+1个．

解析

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考研数学三

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设A是m×n阶矩阵，且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)==r＜n，证明：方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n一r+l个．

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设∑与а∑满足斯托斯克斯定理中的条件，函数f(x，y，z)与g(x，y，z)具有连续二阶偏导数，f▽g表示向量▽g数乘f，即f▽g＝f(gx，gy，gz)＝(fgx，fgy，fgz)证明：

验证下列函数满足波动方程utt＝a2uxx：(1)u＝sin(kx)sin(akt)；(2)u＝ln(x＋at)；(3)u＝sin(x－at)．

将下列函数展成麦克劳林级数：

设u(x，y，z)，v(x，y，z)是两个定义在闭区域Ω上的具有二阶连续偏导数的函数，依次表示u(x，y，z)，v(x，y，z)沿∑的外法线方向的方向导数．证明：其中∑是空间闭区域Ω的整个边界曲面．

证明：函数f(x，y)＝(1＋ey)cosx－yey有无穷多个极大值点，但无极小值点．

求下列微分方程的通解:(1)y〞＝xex；(2)(1＋x2)y〞＝1；(3)y〞＋yˊ＝x2；(4)y〞＝1＋yˊ2；(5)x2y〞＝yˊ2＋2xyˊ；(6)(1－y)y〞＋2yˊ2＝0；(7)；(8)y〞＋yˊ2＝

设向量β可由向量组α1，α2，...，αm线性表示，但不能由向量组(I)：α1，α2，...，αm-1线性表示，向量组(Ⅱ):α1，α2，...，αm-1,β，则

设矩阵已知线性方程组AX＝β有解但不唯一，试求(I)a的值；(Ⅱ)正交矩阵Q，使QTAQ为对角矩阵．

设齐次线性方程组其中a≠O，b≠0，n≥2．试讨论a，b为何值时，方程组仅有零解，有无穷多组解?存有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解．

______withthesizeofthewholeearth,thehighestmountaindoesn’tseemhighatall.

人民法院审理民事案件，应当根据自愿和合法的原则进行调解。对此，下列哪些理解是错误的?

甲村与乙村交界处20公顷土地的权属由于历史原因一直处于不明确状态，双方多次协商未果。为了早日解决问题，乡政府在双方代表参与的情况下，经过审查裁决土地所有权属于甲村。乡政府的行为属于：()

以下属于可以开立专用存款账户的资金有()。

对序时账的审查分析应注意（）。

依次填入下面横线上的词语最恰当的一项是()。我们无法生命的长度，但我们可以靠它的宽度和高度来它的容积，使人生更加丰富多彩。

我们的整个文明都建立在自然生态之上，它们跟不上我们的步伐，终将令我们也随之。将责任推给“适者生存”，任凭野生动物在我们制造的阴影中，这不但是一件残忍的事情，更是一件愚蠢的事情。依次填入画横线

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以下属于可以开立专用存款账户的资金有()。

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依次填入下面横线上的词语最恰当的一项是()。我们无法____________生命的长度，但我们可以靠____________它的宽度和高度来____________它的容积，使人生更加丰富多彩。

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