设A是m×n阶矩阵，且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)==r＜n，证明：方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n一r+l个．

admin2016-10-24 49

问题设A是m×n阶矩阵，且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)=

=r＜n，证明：方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n一r+l个．

选项

答案因为r(A)=r＜n，所以齐次线性方程组AX=0的基础解系含有n一r个线性无关的解向量，设为ξ₁，ξ₂，…，ξ_n一r．设η₀为方程组AX=b的一个特解，令β₀=η₀，β₁=ξ₁+η₀，β₂=ξ₂+η₀，…，β_n一r=ξ_n一r+η₀，显然β₀，β₁，β₂，…，β_n一r为方程组AX=b的一组解．令k₀β₀+k₁β₁+…+k_n一rβ_n一r=0，即 (k₀+k₁+…+k_n一r)η₀+k₁ξ₁+k₂ξ₂+…+k_n一rξ_n一r=0，上式两边左乘A得(k₀+k₁+…+k_n一r)b=0，因为b为非零列向量，所以k₀+k₁+…+k_n一r=0，于是k₁ξ₁+k₂ξ₂+…+k_n一rξ_n一r=0，注意到ξ₁，ξ₂，…，ξ_n一r线性无关，所以k₁=k₂=…=k_n一r=0，故β₀，β₁，β₂，…，β_n一r线性无关，即方程组AX=b存在由n一r+1个线性无关的解向量构成的向量组，设β₁，β₂，…，β_n一r+2为方程组AX=b的一组线性无关解，令γ₁=β₂一β₁，γ₂=β₃一β₁，…，γ_n一r+1=β_n一r+2一β₁，根据定义，易证β₁，β₂，…，β_n一r+1线性无关，又γ₁，γ₂，…，γ_n一r+1，为齐次线性方程组Ax=0的一组解，即方程组AX=0含有n一r+1个线性无关的解，矛盾，所以AX=b的任意n一r+2个解向量都是线性相关的，所以AX=b的线性无关的解向量的个数最多为n一r+1个．

解析

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考研数学三

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设A是m×n阶矩阵，且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)==r＜n，证明：方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n一r+l个．

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