设A是m×n阶矩阵，且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)==r＜n，证明：方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n一r+l个．

admin2016-10-24 74

问题设A是m×n阶矩阵，且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)=

=r＜n，证明：方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n一r+l个．

选项

答案因为r(A)=r＜n，所以齐次线性方程组AX=0的基础解系含有n一r个线性无关的解向量，设为ξ₁，ξ₂，…，ξ_n一r．设η₀为方程组AX=b的一个特解，令β₀=η₀，β₁=ξ₁+η₀，β₂=ξ₂+η₀，…，β_n一r=ξ_n一r+η₀，显然β₀，β₁，β₂，…，β_n一r为方程组AX=b的一组解．令k₀β₀+k₁β₁+…+k_n一rβ_n一r=0，即 (k₀+k₁+…+k_n一r)η₀+k₁ξ₁+k₂ξ₂+…+k_n一rξ_n一r=0，上式两边左乘A得(k₀+k₁+…+k_n一r)b=0，因为b为非零列向量，所以k₀+k₁+…+k_n一r=0，于是k₁ξ₁+k₂ξ₂+…+k_n一rξ_n一r=0，注意到ξ₁，ξ₂，…，ξ_n一r线性无关，所以k₁=k₂=…=k_n一r=0，故β₀，β₁，β₂，…，β_n一r线性无关，即方程组AX=b存在由n一r+1个线性无关的解向量构成的向量组，设β₁，β₂，…，β_n一r+2为方程组AX=b的一组线性无关解，令γ₁=β₂一β₁，γ₂=β₃一β₁，…，γ_n一r+1=β_n一r+2一β₁，根据定义，易证β₁，β₂，…，β_n一r+1线性无关，又γ₁，γ₂，…，γ_n一r+1，为齐次线性方程组Ax=0的一组解，即方程组AX=0含有n一r+1个线性无关的解，矛盾，所以AX=b的任意n一r+2个解向量都是线性相关的，所以AX=b的线性无关的解向量的个数最多为n一r+1个．

解析

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考研数学三

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设A是m×n阶矩阵，且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)==r＜n，证明：方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n一r+l个．

考研数学三

求由下列方程所确定的隐函数y＝y(x)的导数dy／dx：(1)y＝1－xey；(2)xy＝ex＋y；(3)xy＝yx；(4)y＝1＋xsiny．

要在海岛I与某城市C之间铺设一条地下光缆(如图2．12所示)，经地质勘测后分析，每千米的铺设成本，在y＞0的水下区域是c1，在y＜0的地下区域是c2证明：为使得铺设该光缆的总成本最低，θ1和θ2应该满足c1sinθ1＝c2sinθ2．

证明下列函数当(x，y)→(0，0)时极限不存在：

用向量法证明：三角形两边中点的连线平行于第三边，且长度等于第三边长度的一半．

验证当0＜x≤1／2时，按公式ex≈1＋x＋x2／2＋x3／6计算ex的近似值时所产生的误差小于0．01，并求的近似值，使误差小于0．01．

试问：a为何值时，函数f(x)＝asinx＋1／3sin3x在x＝π／3处取得极值?它是极小值还是极大值?并求此极值．

求下列向量组的一个极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组线性表示：α1=(1，2，1，3)，α2=(4，-1，-5，-6)，α3=(-1，-3，-4，-7)，α4=(2，1，2，3)；

设A为n阶实矩阵，AT为A的转置矩阵，则对于线性方程组(I)AX＝0和(Ⅱ)ATAx＝0必有()．

已知向量组α1=(t，2，1)，α2=(2，t，0)，α3=(1，-1，1)，试讨论：t为何值时，向量组α1，α2，α3线性相关?

根据题意可知方程组(Ⅱ)中方程组个数＜未知数个数，从而(Ⅱ)必有无穷[*]

磁导率μ的单位为()。

结节病可有

以下属于重要隐蔽单元工程的是()。

认沽权证又称为股本权证，一般由基础证券的发行人发行，行权时上市公司增发新股售予认沽权证的持有人。(　　)

学生是发展中的人，这句话包括()等含义。

甲厂工程师张某利用工作之便，编写了一本《发动机修理与调试》。为该书的著作权归属问题张某与甲厂发生争议。依照法律，该书的著作权属于谁?()

Onereasonhumanbeingscanthriveinallkindsofclimatesisthattheycancontrolthequalitiesoftheairintheenclosedsp

Ifyousitalldayatanofficeandworryaboutitseffectonyourweightandhealth,takeafewbreaks.That’stheadvic

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证明下列函数当(x，y)→(0，0)时极限不存在：

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验证当0＜x≤1／2时，按公式ex≈1＋x＋x2／2＋x3／6计算ex的近似值时所产生的误差小于0．01，并求的近似值，使误差小于0．01．

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已知向量组α1=(t，2，1)，α2=(2，t，0)，α3=(1，-1，1)，试讨论：t为何值时，向量组α1，α2，α3线性相关?

根据题意可知方程组(Ⅱ)中方程组个数＜未知数个数，从而(Ⅱ)必有无穷[*]

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认沽权证又称为股本权证，一般由基础证券的发行人发行，行权时上市公司增发新股售予认沽权证的持有人。( )

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