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设函数f(x)连续. (1)求初值问题的解y(x),其中a是正常数. (2)若|f(x)|≤k(k为常数),证明:当x≥0时,有|y(x)|≤(1一e—ax).
设函数f(x)连续. (1)求初值问题的解y(x),其中a是正常数. (2)若|f(x)|≤k(k为常数),证明:当x≥0时,有|y(x)|≤(1一e—ax).
admin
2017-07-26
43
问题
设函数f(x)连续.
(1)求初值问题
的解y(x),其中a是正常数.
(2)若|f(x)|≤k(k为常数),证明:当x≥0时,有|y(x)|≤
(1一e
—ax
).
选项
答案
(1)根据一阶非齐次线性微分方程的通解公式,得 y(x)=e
—ax
[∫f(x)e
∫adx
dx+c]=e
—ax
[F(x)+c], 其中c为任意常数,F(x)=∫f(x)e
ax
dx. 因为y(0)=0,得c=一F(0).于是, y(x)=e
—ax
[F(x)一F(0)]=e
—ax
f(t)e
at
dt. (2)由(1)问的结果,易知 |y(x)|≤e
—ax
∫
0
x
|f(x)|e
at
dt≤ke
—ax
∫
0
x
e
at
dt=[*](1一e
—ax
).
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/kuH4777K
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考研数学三
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