2. 考研
  3. 设函数f(x)连续． (1)求初值问题的解y(x)，其中a是正常数． (2)若｜f(x)｜≤k(k为常数)，证明：当x≥0时，有｜y(x)｜≤(1一e—ax)．

设函数f(x)连续． (1)求初值问题的解y(x)，其中a是正常数． (2)若｜f(x)｜≤k(k为常数)，证明：当x≥0时，有｜y(x)｜≤(1一e—ax)．

admin2017-07-26  97
问题 设函数f(x)连续．
    (1)求初值问题的解y(x)，其中a是正常数．
    (2)若｜f(x)｜≤k(k为常数)，证明：当x≥0时，有｜y(x)｜≤(1一e—ax)．
选项
答案(1)根据一阶非齐次线性微分方程的通解公式，得 y(x)=e—ax[∫f(x)e∫adxdx+c]=e—ax[F(x)+c]， 其中c为任意常数，F(x)=∫f(x)eaxdx． 因为y(0)=0，得c=一F(0)．于是， y(x)=e—ax[F(x)一F(0)]=e—axf(t)eatdt． (2)由(1)问的结果，易知 ｜y(x)｜≤e—ax∫0x｜f(x)｜eatdt≤ke—ax∫0xeatdt=[*](1一e—ax)．
解析
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考研数学三

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